Precálculo Ejemplos

$\frac{1}{1 + \log_{c} (a b)} + \frac{1}{1 + \log_{a} (b c)} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$

Paso 1

Para escribir $\frac{1}{1 + \log_{c} (a b)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + \log_{a} (b c)}{1 + \log_{a} (b c)}$ .

$\frac{1}{1 + \log_{c} (a b)} \cdot \frac{1 + \log_{a} (b c)}{1 + \log_{a} (b c)} + \frac{1}{1 + \log_{a} (b c)} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{1}{1 + \log_{a} (b c)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + \log_{c} (a b)}{1 + \log_{c} (a b)}$ .

$\frac{1}{1 + \log_{c} (a b)} \cdot \frac{1 + \log_{a} (b c)}{1 + \log_{a} (b c)} + \frac{1}{1 + \log_{a} (b c)} \cdot \frac{1 + \log_{c} (a b)}{1 + \log_{c} (a b)} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{a} (b c))$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{1 + \log_{c} (a b)}$ por $\frac{1 + \log_{a} (b c)}{1 + \log_{a} (b c)}$ .

$\frac{1 + \log_{a} (b c)}{(1 + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{a} (b c))} + \frac{1}{1 + \log_{a} (b c)} \cdot \frac{1 + \log_{c} (a b)}{1 + \log_{c} (a b)} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1}{1 + \log_{a} (b c)}$ por $\frac{1 + \log_{c} (a b)}{1 + \log_{c} (a b)}$ .

$\frac{1 + \log_{a} (b c)}{(1 + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{a} (b c))} + \frac{1 + \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$

Paso 3.3

Reordena los factores de $(1 + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{a} (b c))$ .

$\frac{1 + \log_{a} (b c)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))} + \frac{1 + \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + \log_{a} (b c) + 1 + \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$

Paso 5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$

Paso 6

Para escribir $\frac{2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + \log_{b} (c a)}{1 + \log_{b} (c a)}$ .

$\frac{2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))} \cdot \frac{1 + \log_{b} (c a)}{1 + \log_{b} (c a)} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$

Paso 7

Para escribir $\frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}$ .

$\frac{2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))} \cdot \frac{1 + \log_{b} (c a)}{1 + \log_{b} (c a)} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)} \cdot \frac{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Paso 8

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a))$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}$ por $\frac{1 + \log_{b} (c a)}{1 + \log_{b} (c a)}$ .

$\frac{(2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a))} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)} \cdot \frac{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Paso 8.2

Multiplica $\frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$ por $\frac{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}$ .

$\frac{(2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a))} + \frac{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{b} (c a)) ((1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b)))}$

Paso 8.3

Reordena los factores de $(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a))$ .

$\frac{(2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))} + \frac{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{b} (c a)) ((1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b)))}$

Paso 8.4

Reordena los factores de $(1 + \log_{b} (c a)) ((1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b)))$ .

$\frac{(2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))} + \frac{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a)) + (1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Expande $(2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a))$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \log_{b} (c a) + \log_{a} (b c) \cdot 1 + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \cdot 1 + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + (1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Paso 10.2

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 + 2 \log_{b} (c a) + \log_{a} (b c) \cdot 1 + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \cdot 1 + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + (1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Paso 10.2.2

Simplifica $2 \log_{b} (c a)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{2 + \log_{b} ({(c a)}^{2}) + \log_{a} (b c) \cdot 1 + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \cdot 1 + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + (1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Paso 10.2.3

Aplica la regla del producto a $c a$ .

$\frac{2 + \log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \cdot 1 + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \cdot 1 + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + (1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Paso 10.2.4

Multiplica $\log_{a} (b c)$ por $1$ .

$\frac{2 + \log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \cdot 1 + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + (1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Paso 10.2.5

Multiplica $\log_{c} (a b)$ por $1$ .

$\frac{2 + \log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + (1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Paso 10.3

Expande $(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 10.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 + \log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 1 (1 + \log_{c} (a b)) + \log_{a} (b c) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Paso 10.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 + \log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 1 \cdot 1 + 1 \log_{c} (a b) + \log_{a} (b c) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Paso 10.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 + \log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 1 \cdot 1 + 1 \log_{c} (a b) + \log_{a} (b c) \cdot 1 + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Paso 10.4

Simplifica cada término.

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Paso 10.4.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{2 + \log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 1 + 1 \log_{c} (a b) + \log_{a} (b c) \cdot 1 + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Paso 10.4.2

Multiplica $\log_{c} (a b)$ por $1$ .

$\frac{2 + \log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 1 + \log_{c} (a b) + \log_{a} (b c) \cdot 1 + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Paso 10.4.3

Multiplica $\log_{a} (b c)$ por $1$ .

$\frac{2 + \log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 1 + \log_{c} (a b) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Paso 10.5

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a b) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Paso 10.6

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a b) + \log_{a} (b c (b c)) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Paso 10.7

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a b (a b)) + \log_{a} (b c (b c)) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Paso 10.8

Reescribe $\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a b (a b)) + \log_{a} (b c (b c)) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)$ en forma factorizada.

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Paso 10.8.1

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 10.8.1.1

Mueve $a$ .

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a \cdot a b \cdot b) + \log_{a} (b c (b c)) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Paso 10.8.1.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a^{2} b \cdot b) + \log_{a} (b c (b c)) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Paso 10.8.2

Multiplica $b$ por $b$ sumando los exponentes.

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Paso 10.8.2.1

Mueve $b$ .

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a^{2} (b \cdot b)) + \log_{a} (b c (b c)) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Paso 10.8.2.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a^{2} b^{2}) + \log_{a} (b c (b c)) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Paso 10.8.3

Multiplica $b$ por $b$ sumando los exponentes.

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Paso 10.8.3.1

Mueve $b$ .

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a^{2} b^{2}) + \log_{a} (b \cdot b c \cdot c) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Paso 10.8.3.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a^{2} b^{2}) + \log_{a} (b^{2} c \cdot c) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Paso 10.8.4

Multiplica $c$ por $c$ sumando los exponentes.

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Paso 10.8.4.1

Mueve $c$ .

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a^{2} b^{2}) + \log_{a} (b^{2} (c \cdot c)) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Paso 10.8.4.2

Multiplica $c$ por $c$ .

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a^{2} b^{2}) + \log_{a} (b^{2} c^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$