Precálculo Ejemplos

$\frac{\ln (30) - \ln (3)}{\ln (100 - \ln (1))} + \ln (9) - \frac{1}{2} \cdot \ln (10) \cdot \log (9)$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{30}{3})}{\ln (100 - \ln (1))} + \ln (9) - \frac{1}{2} \cdot \ln (10) \cdot \log (9)$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $30$ y $3$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $3$ de $30$ .

$\frac{\ln (\frac{3 \cdot 10}{3})}{\ln (100 - \ln (1))} + \ln (9) - \frac{1}{2} \cdot \ln (10) \cdot \log (9)$

Paso 2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{\ln (\frac{3 \cdot 10}{3 (1)})}{\ln (100 - \ln (1))} + \ln (9) - \frac{1}{2} \cdot \ln (10) \cdot \log (9)$

Paso 2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (\frac{3 \cdot 10}{3 \cdot 1})}{\ln (100 - \ln (1))} + \ln (9) - \frac{1}{2} \cdot \ln (10) \cdot \log (9)$

Paso 2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (\frac{10}{1})}{\ln (100 - \ln (1))} + \ln (9) - \frac{1}{2} \cdot \ln (10) \cdot \log (9)$

Paso 2.1.2.4

Divide $10$ por $1$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (100 - \ln (1))} + \ln (9) - \frac{1}{2} \cdot \ln (10) \cdot \log (9)$

Paso 2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (100 - 0)} + \ln (9) - \frac{1}{2} \cdot \ln (10) \cdot \log (9)$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (100 + 0)} + \ln (9) - \frac{1}{2} \cdot \ln (10) \cdot \log (9)$

Paso 2.2.2

Suma $100$ y $0$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (100)} + \ln (9) - \frac{1}{2} \cdot \ln (10) \cdot \log (9)$

Paso 2.3

Multiplica $- \frac{1}{2} \ln (10)$ .

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Paso 2.3.1

Reordena $\ln (10)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (100)} + \ln (9) - (\frac{1}{2} \ln (10)) \cdot \log (9)$

Paso 2.3.2

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (10)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$\frac{\ln (10)}{\ln (100)} + \ln (9) - \ln (10^{\frac{1}{2}}) \cdot \log (9)$

$\frac{\ln (10)}{\ln (100)} + \ln (9) - \ln (10^{\frac{1}{2}}) \log (9)$

Paso 3

Para escribir $\ln (9)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\ln (100)}{\ln (100)}$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (100)} + \frac{\ln (9) \ln (100)}{\ln (100)} - \ln (10^{\frac{1}{2}}) \log (9)$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100)}{\ln (100)} - \ln (10^{\frac{1}{2}}) \log (9)$

Paso 5

Para escribir $- \ln (10^{\frac{1}{2}}) \log (9)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\ln (100)}{\ln (100)}$ .

$\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100)}{\ln (100)} - \ln (10^{\frac{1}{2}}) \log (9) \cdot \frac{\ln (100)}{\ln (100)}$

Paso 6

Combina $- \ln (10^{\frac{1}{2}}) \log (9)$ y $\frac{\ln (100)}{\ln (100)}$ .

$\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100)}{\ln (100)} + \frac{- \ln (10^{\frac{1}{2}}) \log (9) \ln (100)}{\ln (100)}$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100) - \ln (10^{\frac{1}{2}}) \log (9) \ln (100)}{\ln (100)}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100) - \ln (10^{\frac{1}{2}}) \log (9) \ln (100)}{\ln (100)}$

Forma decimal:

$1.59861228 \dots$