Precálculo Ejemplos

$\frac{1}{3} \cdot \log_{b} (x^{4} y^{5}) - \frac{3}{4} \cdot \log_{b} (x^{2} y)$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica $\frac{1}{3} \log_{b} (x^{4} y^{5})$ al mover $\frac{1}{3}$ dentro del algoritmo.

$\log_{b} ({(x^{4} y^{5})}^{\frac{1}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot \log_{b} (x^{2} y)$

Paso 1.2

Aplica la regla del producto a $x^{4} y^{5}$ .

$\log_{b} ({(x^{4})}^{\frac{1}{3}} {(y^{5})}^{\frac{1}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot \log_{b} (x^{2} y)$

Paso 1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (x^{4 (\frac{1}{3})} {(y^{5})}^{\frac{1}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot \log_{b} (x^{2} y)$

Paso 1.3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{3}$ .

$\log_{b} (x^{\frac{4}{3}} {(y^{5})}^{\frac{1}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot \log_{b} (x^{2} y)$

Paso 1.4

Multiplica los exponentes en ${(y^{5})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (x^{\frac{4}{3}} y^{5 (\frac{1}{3})}) - \frac{3}{4} \cdot \log_{b} (x^{2} y)$

Paso 1.4.2

Combina $5$ y $\frac{1}{3}$ .

$\log_{b} (x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{5}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot \log_{b} (x^{2} y)$

Paso 1.5

Multiplica $- \frac{3}{4} \log_{b} (x^{2} y)$ .

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Paso 1.5.1

Reordena $\log_{b} (x^{2} y)$ y $\frac{3}{4}$ .

$\log_{b} (x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{5}{3}}) - (\frac{3}{4} \log_{b} (x^{2} y))$

Paso 1.5.2

Simplifica $\frac{3}{4} \log_{b} (x^{2} y)$ al mover $\frac{3}{4}$ dentro del algoritmo.

$\log_{b} (x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{5}{3}}) - \log_{b} ({(x^{2} y)}^{\frac{3}{4}})$

Paso 1.6

Aplica la regla del producto a $x^{2} y$ .

$\log_{b} (x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{5}{3}}) - \log_{b} ({(x^{2})}^{\frac{3}{4}} y^{\frac{3}{4}})$

Paso 1.7

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{\frac{3}{4}}$ .

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Paso 1.7.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{5}{3}}) - \log_{b} (x^{2 (\frac{3}{4})} y^{\frac{3}{4}})$

Paso 1.7.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.7.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\log_{b} (x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{5}{3}}) - \log_{b} (x^{2 \frac{3}{2 (2)}} y^{\frac{3}{4}})$

Paso 1.7.2.2

Cancela el factor común.

$\log_{b} (x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{5}{3}}) - \log_{b} (x^{2 \frac{3}{2 \cdot 2}} y^{\frac{3}{4}})$

Paso 1.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\log_{b} (x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{5}{3}}) - \log_{b} (x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{4}})$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (\frac{x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{4}}})$

Paso 3

Mueve $x^{\frac{4}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{4}} x^{- \frac{4}{3}}})$

Paso 4

Multiplica $x^{\frac{3}{2}}$ por $x^{- \frac{4}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{5}{3}}}{x^{- \frac{4}{3}} x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{4}}})$

Paso 4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{5}{3}}}{x^{- \frac{4}{3} + \frac{3}{2}} y^{\frac{3}{4}}})$

Paso 4.3

Para escribir $- \frac{4}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{5}{3}}}{x^{- \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} y^{\frac{3}{4}}})$

Paso 4.4

Para escribir $\frac{3}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{5}{3}}}{x^{- \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}} y^{\frac{3}{4}}})$

Paso 4.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.5.1

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{5}{3}}}{x^{- \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}} y^{\frac{3}{4}}})$

Paso 4.5.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{5}{3}}}{x^{- \frac{4 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}} y^{\frac{3}{4}}})$

Paso 4.5.3

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{5}{3}}}{x^{- \frac{4 \cdot 2}{6} + \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3}} y^{\frac{3}{4}}})$

Paso 4.5.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{5}{3}}}{x^{- \frac{4 \cdot 2}{6} + \frac{3 \cdot 3}{6}} y^{\frac{3}{4}}})$

Paso 4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{- 4 \cdot 2 + 3 \cdot 3}{6}} y^{\frac{3}{4}}})$

Paso 4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.7.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{- 8 + 3 \cdot 3}{6}} y^{\frac{3}{4}}})$

Paso 4.7.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{- 8 + 9}{6}} y^{\frac{3}{4}}})$

Paso 4.7.3

Suma $- 8$ y $9$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{1}{6}} y^{\frac{3}{4}}})$

Paso 5

Mueve $y^{\frac{3}{4}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{5}{3}} y^{- \frac{3}{4}}}{x^{\frac{1}{6}}})$

Paso 6

Multiplica $y^{\frac{5}{3}}$ por $y^{- \frac{3}{4}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{5}{3} - \frac{3}{4}}}{x^{\frac{1}{6}}})$

Paso 6.2

Para escribir $\frac{5}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{5}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4}}}{x^{\frac{1}{6}}})$

Paso 6.3

Para escribir $- \frac{3}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{5}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{3}}}{x^{\frac{1}{6}}})$

Paso 6.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.4.1

Multiplica $\frac{5}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{5 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{3}}}{x^{\frac{1}{6}}})$

Paso 6.4.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{5 \cdot 4}{12} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{3}}}{x^{\frac{1}{6}}})$

Paso 6.4.3

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{5 \cdot 4}{12} - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}}}{x^{\frac{1}{6}}})$

Paso 6.4.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{5 \cdot 4}{12} - \frac{3 \cdot 3}{12}}}{x^{\frac{1}{6}}})$

Paso 6.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{5 \cdot 4 - 3 \cdot 3}{12}}}{x^{\frac{1}{6}}})$

Paso 6.6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.6.1

Multiplica $5$ por $4$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{20 - 3 \cdot 3}{12}}}{x^{\frac{1}{6}}})$

Paso 6.6.2

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{20 - 9}{12}}}{x^{\frac{1}{6}}})$

Paso 6.6.3

Resta $9$ de $20$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{11}{12}}}{x^{\frac{1}{6}}})$