Precálculo Ejemplos

$\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} = \csc (x) - \sin (x)$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Simplifica $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)}$ .

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Paso 1.1.1

Separa las fracciones.

$\frac{1}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{\sec (x)} = \csc (x) - \sin (x)$

Paso 1.1.2

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} = \csc (x) - \sin (x)$

Paso 1.1.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\tan (x)} (1 \cos (x)) = \csc (x) - \sin (x)$

Paso 1.1.4

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{1}{\tan (x)} \cos (x) = \csc (x) - \sin (x)$

Paso 1.1.5

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \cos (x) = \csc (x) - \sin (x)$

Paso 1.1.6

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) = \csc (x) - \sin (x)$

Paso 1.1.7

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) = \csc (x) - \sin (x)$

Paso 1.1.8

Simplifica.

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Paso 1.1.8.1

Reescribe la expresión.

$1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) = \csc (x) - \sin (x)$

Paso 1.1.8.2

Multiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) = \csc (x) - \sin (x)$

Paso 1.1.9

Multiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

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Paso 1.1.9.1

Combina $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ y $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \csc (x) - \sin (x)$

Paso 1.1.9.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \csc (x) - \sin (x)$

Paso 1.1.9.3

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} = \csc (x) - \sin (x)$

Paso 1.1.9.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} = \csc (x) - \sin (x)$

Paso 1.1.9.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \csc (x) - \sin (x)$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)$

Paso 3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x))$

Paso 4

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común.

$\sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x))$

Paso 4.2

Reescribe la expresión.

$\cos^{2} (x) = \sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x))$

Paso 5

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos^{2} (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 6

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 6.1

Cancela el factor común.

$\cos^{2} (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 6.2

Reescribe la expresión.

$\cos^{2} (x) = 1 + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\cos^{2} (x) = 1 - \sin (x) \sin (x)$

Paso 8

Multiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Paso 8.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (x) = 1 - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Paso 8.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (x) = 1 - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Paso 8.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos^{2} (x) = 1 - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Paso 8.4

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (x) = 1 - \sin^{2} (x)$

Paso 9

Aplica la identidad pitagórica.

$\cos^{2} (x) = \cos^{2} (x)$

Paso 10

Como los exponentes son iguales, las bases de los exponentes en ambos lados de la ecuación deben ser iguales.

$| \cos (x) | = | \cos (x) |$

Paso 11

Resuelve $x$

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Paso 11.1

Reescribe la ecuación de valor absoluto como cuatro ecuaciones sin barras del valor absoluto.

$\cos (x) = \cos (x)$

$\cos (x) = - \cos (x)$

$- \cos (x) = \cos (x)$

$- \cos (x) = - \cos (x)$

Paso 11.2

Después de simplificar, solo hay dos ecuaciones únicas por resolver.

$\cos (x) = \cos (x)$

$\cos (x) = - \cos (x)$

Paso 11.3

Resuelve $\cos (x) = \cos (x)$ en $x$ .

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Paso 11.3.1

Para que las dos funciones sean iguales, los argumentos de cada una deben ser iguales.

$x = x$

Paso 11.3.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 11.3.2.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$x - x = 0$

Paso 11.3.2.2

Resta $x$ de $x$ .

$0 = 0$

Paso 11.3.3

Como $0 = 0$ , la ecuación siempre será verdadera.

Todos los números reales

Paso 11.4

Resuelve $\cos (x) = - \cos (x)$ en $x$ .

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Paso 11.4.1

Mueve todos los términos que contengan $\cos (x)$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 11.4.1.1

Suma $\cos (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) + \cos (x) = 0$

Paso 11.4.1.2

Suma $\cos (x)$ y $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) = 0$

Paso 11.4.2

Divide cada término en $2 \cos (x) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 11.4.2.1

Divide cada término en $2 \cos (x) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 11.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 11.4.2.2.1.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{2}$

Paso 11.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.4.2.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$\cos (x) = 0$

Paso 11.4.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Paso 11.4.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.4.4.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 11.4.5

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 11.4.6

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 11.4.6.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 11.4.6.2

Combina fracciones.

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Paso 11.4.6.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 11.4.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 11.4.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 11.4.6.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 11.4.6.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 11.4.7

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 11.4.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 11.4.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 11.4.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 11.4.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 11.4.8

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 12

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$