Precálculo Ejemplos

$2 \sin (\frac{x}{2}) + \sqrt{3} = 0$

Paso 1

Resta $\sqrt{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sin (\frac{x}{2}) = - \sqrt{3}$

Paso 2

Divide cada término en $2 \sin (\frac{x}{2}) = - \sqrt{3}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $2 \sin (\frac{x}{2}) = - \sqrt{3}$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.2.1.2

Divide $\sin (\frac{x}{2})$ por $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (\frac{x}{2}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$\frac{x}{2} = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ es $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{3}$

Paso 5

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{3})$

Paso 6

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{3})$

Paso 6.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 (- \frac{π}{3})$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

Simplifica $2 (- \frac{π}{3})$ .

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $2 (- \frac{π}{3})$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x = - 2 \frac{π}{3}$

Paso 6.2.1.1.2

Combina $- 2$ y $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{- 2 π}{3}$

Paso 6.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2 π}{3}$

Paso 7

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Paso 8

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 8.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Paso 8.2

El ángulo resultante de $\frac{4 π}{3}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{4 π}{3}$

Paso 8.3

Resuelve $x$

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Paso 8.3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{4 π}{3}$

Paso 8.3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 8.3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{4 π}{3}$

Paso 8.3.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 \frac{4 π}{3}$

Paso 8.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.2.2.1

Multiplica $2 \frac{4 π}{3}$ .

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Paso 8.3.2.2.1.1

Combina $2$ y $\frac{4 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (4 π)}{3}$

Paso 8.3.2.2.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π}{3}$

Paso 9

Obtén el período de $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Paso 9.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 9.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Paso 9.3

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Paso 9.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 2$

Paso 9.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 π$

Paso 10

Suma $4 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 10.1

Suma $4 π$ y $- \frac{2 π}{3}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{2 π}{3} + 4 π$

Paso 10.2

Para escribir $4 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$4 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 10.3

Combina fracciones.

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Paso 10.3.1

Combina $4 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 10.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Paso 10.4

Simplifica el numerador.

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Paso 10.4.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{12 π - 2 π}{3}$

Paso 10.4.2

Resta $2 π$ de $12 π$ .

$\frac{10 π}{3}$

Paso 10.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{10 π}{3}$

Paso 11

El período de la función $\sin (\frac{x}{2})$ es $4 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $4 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{8 π}{3} + 4 π n, \frac{10 π}{3} + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$