Precálculo Ejemplos

$\sum_{k = 1}^{6} (k - 2) (k + 1)$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Expande $(k - 2) (k + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$k (k + 1) - 2 (k + 1)$

Paso 1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$k \cdot k + k \cdot 1 - 2 (k + 1)$

Paso 1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$k \cdot k + k \cdot 1 - 2 k - 2 \cdot 1$

Paso 1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1

Multiplica $k$ por $k$ .

$k^{2} + k \cdot 1 - 2 k - 2 \cdot 1$

Paso 1.2.1.2

Multiplica $k$ por $1$ .

$k^{2} + k - 2 k - 2 \cdot 1$

Paso 1.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$k^{2} + k - 2 k - 2$

Paso 1.2.2

Resta $2 k$ de $k$ .

$k^{2} - k - 2$

Paso 1.3

Reescribe la suma.

$\sum_{k = 1}^{6} k^{2} - k - 2$

Paso 2

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{k = 1}^{6} k^{2} - k - 2 = \sum_{k = 1}^{6} k^{2} - 1 \sum_{k = 1}^{6} k + \sum_{k = 1}^{6} - 2$

Paso 3

Evalúa $\sum_{k = 1}^{6} k^{2}$ .

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Paso 3.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 3.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$\frac{6 (6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 (6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Paso 3.3.1.2

Divide $(6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)$ por $1$ .

$(6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)$

Paso 3.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.2.1

Suma $6$ y $1$ .

$7 (2 \cdot 6 + 1)$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$7 (12 + 1)$

Paso 3.3.2.3

Suma $12$ y $1$ .

$7 \cdot 13$

Paso 3.3.2.4

Multiplica $7$ por $13$ .

$91$

Paso 4

Evalúa $1 \sum_{k = 1}^{6} k$ .

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Paso 4.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 4.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(- 1) (\frac{6 (6 + 1)}{2})$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Suma $6$ y $1$ .

$- 1 \frac{6 \cdot 7}{2}$

Paso 4.3.2

Multiplica $6$ por $7$ .

$- 1 (\frac{42}{2})$

Paso 4.3.3

Divide $42$ por $2$ .

$- 1 \cdot 21$

Paso 4.3.4

Multiplica $- 1$ por $21$ .

$- 21$

Paso 5

Evalúa $\sum_{k = 1}^{6} - 2$ .

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Paso 5.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 5.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(- 2) (6)$

Paso 5.3

Multiplica $- 2$ por $6$ .

$- 12$

Paso 6

Suma los resultados de las sumas.

$91 - 21 - 12$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Resta $21$ de $91$ .

$70 - 12$

Paso 7.2

Resta $12$ de $70$ .

$58$