Precálculo Ejemplos

$2 \sin (\frac{3 π}{4}) \cos (- \frac{π}{12})$

Paso 1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (- \frac{π}{12})$

Paso 2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (- \frac{π}{12})$

Paso 3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (- \frac{π}{12})$

Paso 3.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{2} \cos (- \frac{π}{12})$

Paso 4

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\sqrt{2} \cos (\frac{23 π}{12})$

Paso 5

El valor exacto de $\cos (\frac{23 π}{12})$ es $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 5.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\sqrt{2} \cos (\frac{π}{12})$

Paso 5.2

Divide $\frac{π}{12}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\sqrt{2} \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Paso 5.3

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\sqrt{2} (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 5.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 5.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 5.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 5.7

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 5.8

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 5.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.8.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 5.8.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 5.8.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 5.8.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 5.8.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 5.8.1.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 5.8.1.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Paso 5.8.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

Paso 5.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{2} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Combina $\sqrt{2}$ y $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{4}$

Paso 6.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{4}$

Paso 6.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2 \cdot 2}}{4}$

Paso 7

Simplifica cada término.

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Paso 7.1

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{12} + \sqrt{2 \cdot 2}}{4}$

Paso 7.2

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2 \cdot 2}}{4}$

Paso 7.2.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{4}$

Paso 7.3

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{4}$

Paso 7.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{4}}{4}$

Paso 7.5

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}}}{4}$

Paso 7.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2}{4}$

Paso 8

Cancela el factor común de $2 \sqrt{3} + 2$ y $4$ .

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Paso 8.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2}{4}$

Paso 8.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (1)}{4}$

Paso 8.3

Factoriza $2$ de $2 (\sqrt{3}) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{4}$

Paso 8.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2 (2)}$

Paso 8.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2 \cdot 2}$

Paso 8.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

Forma decimal:

$1.36602540 \dots$