Precálculo Ejemplos

${(3 - 2 i)}^{3}$

Paso 1

Usa el teorema de expansión binomial para obtener cada término. El teorema del binomio establece ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(3)}^{3 - k} \cdot {(- 2 i)}^{k}$

Paso 2

Expande la suma.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(3)}^{3 - 0} \cdot {(- 2 i)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(3)}^{3 - 1} \cdot {(- 2 i)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(3)}^{3 - 2} \cdot {(- 2 i)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(3)}^{3 - 3} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Paso 3

Simplifica los exponentes para cada término de la expansión.

$1 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(- 2 i)}^{0} + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Paso 4

Simplifica el resultado del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica ${(3)}^{3}$ por $1$ .

${(3)}^{3} \cdot {(- 2 i)}^{0} + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Paso 4.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 \cdot {(- 2 i)}^{0} + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Paso 4.1.3

Aplica la regla del producto a $- 2 i$ .

$27 \cdot ({(- 2)}^{0} i^{0}) + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Paso 4.1.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$27 \cdot (1 i^{0}) + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Paso 4.1.5

Multiplica $i^{0}$ por $1$ .

$27 \cdot i^{0} + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Paso 4.1.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$27 \cdot 1 + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Paso 4.1.7

Multiplica $27$ por $1$ .

$27 + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Paso 4.1.8

Multiplica $3$ por ${(3)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.8.1

Multiplica $3$ por ${(3)}^{2}$ .

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Paso 4.1.8.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$27 + 3^{1} \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Paso 4.1.8.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$27 + 3^{1 + 2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Paso 4.1.8.2

Suma $1$ y $2$ .

$27 + 3^{3} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Paso 4.1.9

Simplifica $3^{3} \cdot {(- 2 i)}^{1}$ .

$27 + 3^{3} \cdot (- 2 i) + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Paso 4.1.10

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 + 27 \cdot (- 2 i) + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Paso 4.1.11

Multiplica $- 2$ por $27$ .

$27 - 54 i + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Paso 4.1.12

Evalúa el exponente.

$27 - 54 i + 3 \cdot 3 \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Paso 4.1.13

Multiplica $3$ por $3$ .

$27 - 54 i + 9 \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Paso 4.1.14

Aplica la regla del producto a $- 2 i$ .

$27 - 54 i + 9 \cdot ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Paso 4.1.15

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$27 - 54 i + 9 \cdot (4 i^{2}) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Paso 4.1.16

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$27 - 54 i + 9 \cdot (4 \cdot - 1) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Paso 4.1.17

Multiplica $9 (4 \cdot - 1)$ .

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Paso 4.1.17.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$27 - 54 i + 9 \cdot - 4 + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Paso 4.1.17.2

Multiplica $9$ por $- 4$ .

$27 - 54 i - 36 + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Paso 4.1.18

Multiplica ${(3)}^{0}$ por $1$ .

$27 - 54 i - 36 + {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Paso 4.1.19

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$27 - 54 i - 36 + 1 \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Paso 4.1.20

Multiplica ${(- 2 i)}^{3}$ por $1$ .

$27 - 54 i - 36 + {(- 2 i)}^{3}$

Paso 4.1.21

Aplica la regla del producto a $- 2 i$ .

$27 - 54 i - 36 + {(- 2)}^{3} i^{3}$

Paso 4.1.22

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$27 - 54 i - 36 - 8 i^{3}$

Paso 4.1.23

Factoriza $i^{2}$ .

$27 - 54 i - 36 - 8 (i^{2} \cdot i)$

Paso 4.1.24

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$27 - 54 i - 36 - 8 (- 1 \cdot i)$

Paso 4.1.25

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$27 - 54 i - 36 - 8 (- i)$

Paso 4.1.26

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$27 - 54 i - 36 + 8 i$

Paso 4.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.2.1

Resta $36$ de $27$ .

$- 9 - 54 i + 8 i$

Paso 4.2.2

Suma $- 54 i$ y $8 i$ .

$- 9 - 46 i$