Precálculo Ejemplos

${(\cos (x) + i \sin (x))}^{2}$

Paso 1

Reescribe ${(\cos (x) + i \sin (x))}^{2}$ como $(\cos (x) + i \sin (x)) (\cos (x) + i \sin (x))$ .

$(\cos (x) + i \sin (x)) (\cos (x) + i \sin (x))$

Paso 2

Expande $(\cos (x) + i \sin (x)) (\cos (x) + i \sin (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) (\cos (x) + i \sin (x)) + i \sin (x) (\cos (x) + i \sin (x))$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) (\cos (x) + i \sin (x))$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 3.1.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Paso 3.1.1.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Paso 3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Paso 3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Paso 3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Paso 3.1.3

Multiplica $i \sin (x) (i \sin (x))$ .

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Paso 3.1.3.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{1} i \sin (x) \sin (x)$

Paso 3.1.3.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{1} i^{1} \sin (x) \sin (x)$

Paso 3.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{1 + 1} \sin (x) \sin (x)$

Paso 3.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} \sin (x) \sin (x)$

Paso 3.1.3.5

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Paso 3.1.3.6

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Paso 3.1.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} {\sin (x)}^{1 + 1}$

Paso 3.1.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} \sin^{2} (x)$

Paso 3.1.4

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) - 1 \sin^{2} (x)$

Paso 3.1.5

Reescribe $- 1 \sin^{2} (x)$ como $- \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x)$

Paso 3.2

Reordena los factores de $i \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)$

Paso 3.3

Suma $i \cos (x) \sin (x)$ y $i \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) + 2 i \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)$

Paso 4

Mueve $- \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 i \cos (x) \sin (x)$

Paso 5

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$\cos (2 x) + 2 i \cos (x) \sin (x)$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Agrega paréntesis.

$\cos (2 x) + 2 i (\cos (x) \sin (x))$

Paso 6.2

Reordena $2 i$ y $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (2 x) + \cos (x) \sin (x) (2 i)$

Paso 6.3

Agrega paréntesis.

$\cos (2 x) + \cos (x) (\sin (x) \cdot 2) i$

Paso 6.4

Reordena $\cos (x)$ y $\sin (x) \cdot 2$ .

$\cos (2 x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) i$

Paso 6.5

Reordena $\sin (x)$ y $2$ .

$\cos (2 x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) i$

Paso 6.6

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\cos (2 x) + \sin (2 x) i$

Paso 7

Reordena los factores en $\cos (2 x) + \sin (2 x) i$ .

$\cos (2 x) + i \sin (2 x)$