Precálculo Ejemplos

$- 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot i$

Paso 1

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- 1 - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Paso 2

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 3

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 4

Sustituye los valores reales de $a = - 1$ y $b = - \frac{1 \sqrt{3}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1 \sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Paso 5

Obtén $| z |$ .

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Paso 5.1

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Paso 5.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.2.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Paso 5.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + {(- 1)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + {(- 1)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Multiplica $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Paso 5.4

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Paso 5.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Paso 5.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Paso 5.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.4.1

Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Paso 5.4.4.2

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{\frac{3}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Paso 5.4.5

Evalúa el exponente.

$| z | = \sqrt{\frac{3}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Paso 5.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3}{9} + {(- 1)}^{2}}$

Paso 5.6

Cancela el factor común de $3$ y $9$ .

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Paso 5.6.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3 (1)}{9} + {(- 1)}^{2}}$

Paso 5.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.6.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(- 1)}^{2}}$

Paso 5.6.2.2

Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(- 1)}^{2}}$

Paso 5.6.2.3

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + {(- 1)}^{2}}$

Paso 5.7

Simplifica la expresión.

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Paso 5.7.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + 1}$

Paso 5.7.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}$

Paso 5.7.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 3}{3}}$

Paso 5.7.4

Suma $1$ y $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{4}{3}}$

Paso 5.8

Reescribe $\sqrt{\frac{4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Paso 5.9

Simplifica el numerador.

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Paso 5.9.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Paso 5.9.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Paso 5.10

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| z | = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 5.11

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.11.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 5.11.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 5.11.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 5.11.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 5.11.5

Suma $1$ y $1$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 5.11.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.11.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.11.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.11.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.11.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.11.6.4.1

Cancela el factor común.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.11.6.4.2

Reescribe la expresión.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 5.11.6.5

Evalúa el exponente.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 6

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1 \sqrt{3}}{3}}{- 1})$

Paso 7

Como la tangente inversa de $\frac{- \frac{1 \sqrt{3}}{3}}{- 1}$ produce un ángulo en el tercer cuadrante, el valor del ángulo es $\frac{7 π}{6}$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Paso 8

Sustituye los valores de $θ = \frac{7 π}{6}$ y $| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3 (\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))}$