Precálculo Ejemplos

$\frac{2}{3} + 6 i + \frac{5}{2} \cdot i$

Paso 1

Combina $\frac{5}{2}$ y $i$ .

$\frac{2}{3} + 6 i + \frac{5 i}{2}$

Paso 2

Para escribir $6 i$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} + 6 i \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 i}{2}$

Paso 3

Combina $6 i$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{6 i \cdot 2}{2} + \frac{5 i}{2}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} + \frac{17 i}{2}$

Paso 5

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 6

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 7

Sustituye los valores reales de $a = \frac{2}{3}$ y $b = \frac{17}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{17}{2})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Paso 8

Obtén $| z |$ .

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Paso 8.1

Aplica la regla del producto a $\frac{17}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{17^{2}}{2^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Paso 8.2

Eleva $17$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{2^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Paso 8.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Paso 8.4

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

Paso 8.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{4}{3^{2}}}$

Paso 8.6

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{4}{9}}$

Paso 8.7

Para escribir $\frac{289}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9}}$

Paso 8.8

Para escribir $\frac{4}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 8.9

Escribe cada expresión con un denominador común de $36$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.9.1

Multiplica $\frac{289}{4}$ por $\frac{9}{9}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 8.9.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 8.9.3

Multiplica $\frac{4}{9}$ por $\frac{4}{4}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4}}$

Paso 8.9.4

Multiplica $9$ por $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4 \cdot 4}{36}}$

Paso 8.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9 + 4 \cdot 4}{36}}$

Paso 8.11

Simplifica el numerador.

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Paso 8.11.1

Multiplica $289$ por $9$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2601 + 4 \cdot 4}{36}}$

Paso 8.11.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2601 + 16}{36}}$

Paso 8.11.3

Suma $2601$ y $16$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2617}{36}}$

Paso 8.12

Reescribe $\sqrt{\frac{2617}{36}}$ como $\frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{36}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{36}}$

Paso 8.13

Simplifica el denominador.

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Paso 8.13.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{6^{2}}}$

Paso 8.13.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{6}$

Paso 9

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{\frac{17}{2}}{\frac{2}{3}})$

Paso 10

Como la tangente inversa de $\frac{\frac{17}{2}}{\frac{2}{3}}$ produce un ángulo en el primer cuadrante, el valor del ángulo es $1.49252518$ .

$θ = 1.49252518$

Paso 11

Sustituye los valores de $θ = 1.49252518$ y $| z | = \frac{\sqrt{2617}}{6}$ .

$\frac{\sqrt{2617}}{6 (\cos (1.49252518) + i \sin (1.49252518))}$