Precálculo Ejemplos

$i^{- 17}$

Paso 1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{i^{17}}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $i^{17}$ como ${(i^{4})}^{4} i$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $i^{16}$ .

$\frac{1}{i^{16} i}$

Paso 2.1.2

Reescribe $i^{16}$ como ${(i^{4})}^{4}$ .

$\frac{1}{{(i^{4})}^{4} i}$

Paso 2.2

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.2.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{{({(i^{2})}^{2})}^{4} i}$

Paso 2.2.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{1}{{({(- 1)}^{2})}^{4} i}$

Paso 2.2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{1^{4} i}$

Paso 2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{1 i}$

Paso 2.4

Multiplica $i$ por $1$ .

$\frac{1}{i}$

Paso 3

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{1}{i}$ por el conjugado de $i$ para hacer real el denominador.

$\frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i}$

Paso 4

Multiplica.

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Paso 4.1

Combinar.

$\frac{1 i}{i i}$

Paso 4.2

Multiplica $i$ por $1$ .

$\frac{i}{i i}$

Paso 4.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{i}{i^{1} i}$

Paso 4.3.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{i}{i^{1} i^{1}}$

Paso 4.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{i}{i^{1 + 1}}$

Paso 4.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{i}{i^{2}}$

Paso 4.3.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{i}{- 1}$

Paso 5

Mueve el negativo del denominador de $\frac{i}{- 1}$ .

$- 1 \cdot i$

Paso 6

Reescribe $- 1 \cdot i$ como $- i$ .

$- i$

Paso 7

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 8

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 9

Sustituye los valores reales de $a = 0$ y $b = - 1$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2}}$

Paso 10

Obtén $| z |$ .

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Paso 10.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Paso 10.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$| z | = 1$

Paso 11

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{- 1}{0})$

Paso 12

Como el argumento es indefinido y $b$ es negativa, el ángulo del punto en el plano complejo es $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Paso 13

Sustituye los valores de $θ = \frac{3 π}{2}$ y $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$