Precálculo Ejemplos

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot i$

Paso 1

Combina $\frac{1}{2}$ y $i$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$

Paso 2

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 3

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 4

Sustituye los valores reales de $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$ y $b = \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Paso 5

Obtén $| z |$ .

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Paso 5.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Paso 5.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Paso 5.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Paso 5.1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 5.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 5.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Paso 5.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Paso 5.2.4.2

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

Paso 5.2.5

Evalúa el exponente.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

Paso 5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}$

Paso 5.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 3}{4}}$

Paso 5.3.3

Suma $1$ y $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{4}{4}}$

Paso 5.3.4

Divide $4$ por $4$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Paso 5.3.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$| z | = 1$

Paso 6

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}})$

Paso 7

Como la tangente inversa de $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ produce un ángulo en el primer cuadrante, el valor del ángulo es $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Paso 8

Sustituye los valores de $θ = \frac{π}{6}$ y $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6})$