Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 9}$ , $g (x) = \sqrt{x - 2}$

Paso 1

Obtén el cociente de las funciones.

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Paso 1.1

Reemplaza los designadores de función con las funciones reales en $\frac{f (x)}{g (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{2} - 9}}{\sqrt{x - 2}}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{x^{2} - 9} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Paso 1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Paso 1.2.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Paso 1.2.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ por $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} (\frac{1}{\sqrt{x - 2}} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}})$

Paso 1.2.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.2.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ por $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}}$

Paso 1.2.4.2

Eleva $\sqrt{x - 2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} \sqrt{x - 2}}$

Paso 1.2.4.3

Eleva $\sqrt{x - 2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} {\sqrt{x - 2}}^{1}}$

Paso 1.2.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1 + 1}}$

Paso 1.2.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{2}}$

Paso 1.2.4.6

Reescribe ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ como $x - 2$ .

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Paso 1.2.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 2}$ como ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.2.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.2.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{1}}$

Paso 1.2.4.6.5

Simplifica.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

Paso 1.2.5

Multiplica $\frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$ por $\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$ .

$\frac{\sqrt{x - 2}}{(x + 3) (x - 3) (x - 2)}$

Paso 2

Establece el radicando en $\sqrt{x - 2}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x - 2 \geq 0$

Paso 3

Suma $2$ a ambos lados de la desigualdad.

$x \geq 2$

Paso 4

Establece el denominador en $\frac{\sqrt{x - 2}}{(x + 3) (x - 3) (x - 2)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(x + 3) (x - 3) (x - 2) = 0$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 5.2

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.2.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 5.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 5.3

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.3.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 5.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 5.4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 5.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 5.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 3) (x - 3) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = - 3, 3, 2$

Paso 6

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(2, 3) \cup (3, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 2, x \neq 3}$

Paso 7