Precálculo Ejemplos

$25 x^{2} + 2 y^{2} = 50$

Paso 1

Resta $25 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y^{2} = 50 - 25 x^{2}$

Paso 2

Divide cada término en $2 y^{2} = 50 - 25 x^{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $2 y^{2} = 50 - 25 x^{2}$ por $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{50}{2} + \frac{- 25 x^{2}}{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{50}{2} + \frac{- 25 x^{2}}{2}$

Paso 2.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{50}{2} + \frac{- 25 x^{2}}{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Divide $50$ por $2$ .

$y^{2} = 25 + \frac{- 25 x^{2}}{2}$

Paso 2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = 25 - \frac{25 x^{2}}{2}$

Paso 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{2}}$

Paso 4

Simplifica $\pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{2}}$ .

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Paso 4.1

Para escribir $25$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{25 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25 x^{2}}{2}}$

Paso 4.2

Combina $25$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 \cdot 2}{2} - \frac{25 x^{2}}{2}}$

Paso 4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{25 \cdot 2 - 25 x^{2}}{2}}$

Paso 4.4

Factoriza $25$ de $25 \cdot 2 - 25 x^{2}$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $25$ de $25 \cdot 2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (2) - 25 x^{2}}{2}}$

Paso 4.4.2

Factoriza $25$ de $- 25 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (2) + 25 (- x^{2})}{2}}$

Paso 4.4.3

Factoriza $25$ de $25 (2) + 25 (- x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (2 - x^{2})}{2}}$

Paso 4.5

Reescribe $\sqrt{\frac{25 (2 - x^{2})}{2}}$ como $\frac{\sqrt{25 (2 - x^{2})}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{25 (2 - x^{2})}}{\sqrt{2}}$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5^{2} (2 - x^{2})}}{\sqrt{2}}$

Paso 4.6.2

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$

Paso 4.7

Multiplica $\frac{5 \sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 4.8

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.8.1

Multiplica $\frac{5 \sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 4.8.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 4.8.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 4.8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 4.8.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 4.8.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.8.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.8.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.8.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.8.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.8.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 4.8.6.5

Evalúa el exponente.

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.9

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

Paso 5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

Paso 5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

Paso 5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

$y = - \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

$y = \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

$y = - \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

Paso 6

Establece el radicando en $\sqrt{2 (2 - x^{2})}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 (2 - x^{2}) \geq 0$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Divide cada término en $2 (2 - x^{2}) \geq 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.1.1

Divide cada término en $2 (2 - x^{2}) \geq 0$ por $2$ .

$\frac{2 (2 - x^{2})}{2} \geq \frac{0}{2}$

Paso 7.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 - x^{2})}{2} \geq \frac{0}{2}$

Paso 7.1.2.1.2

Divide $2 - x^{2}$ por $1$ .

$2 - x^{2} \geq \frac{0}{2}$

Paso 7.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$2 - x^{2} \geq 0$

Paso 7.2

Resta $2$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x^{2} \geq - 2$

Paso 7.3

Divide cada término en $- x^{2} \geq - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 7.3.1

Divide cada término de $- x^{2} \geq - 2$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Paso 7.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Paso 7.3.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Paso 7.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

Paso 7.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

Paso 7.5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.5.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \leq \sqrt{2}$

Paso 7.6

Escribe $| x | \leq \sqrt{2}$ como una función definida por partes.

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Paso 7.6.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 7.6.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x \leq \sqrt{2}$

Paso 7.6.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 7.6.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{2}$

Paso 7.6.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Paso 7.7

Obtén la intersección de $x \leq \sqrt{2}$ y $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

Paso 7.8

Resuelve $- x \leq \sqrt{2}$ cuando $x < 0$ .

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Paso 7.8.1

Divide cada término en $- x \leq \sqrt{2}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 7.8.1.1

Divide cada término de $- x \leq \sqrt{2}$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Paso 7.8.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.8.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Paso 7.8.1.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Paso 7.8.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.8.1.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

Paso 7.8.1.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \sqrt{2}$ como $- \sqrt{2}$ .

$x \geq - \sqrt{2}$

Paso 7.8.2

Obtén la intersección de $x \geq - \sqrt{2}$ y $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

Paso 7.9

Obtén la unión de las soluciones.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

Paso 8

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Paso 9

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[- 5, 5]$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | - 5 \leq y \leq 5}$

Paso 10

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}], {x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Rango: $[- 5, 5], {y | - 5 \leq y \leq 5}$

Paso 11