Precálculo Ejemplos

$\sin (w) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\sin (\frac{w}{2})$

Paso 1

Usa la definición de seno para obtener los lados conocidos del triángulo rectángulo del círculo unitario. El cuadrante determina el signo en cada uno de los valores.

$\sin (w) = \frac{opuesto}{hipotenusa}$

Paso 2

Obtén el lado adyacente del triángulo del círculo unitario. Dado que se conocen la hipotenusa y los lados opuestos, usa el teorema de Pitágoras para encontrar el lado restante.

$Adyacente = \sqrt{{hipotenusa}^{2} - {opuesto}^{2}}$

Paso 3

Reemplaza los valores conocidos en la ecuación.

$Adyacente = \sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Paso 4

Simplifica dentro del radical.

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Paso 4.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

Adyacente $= \sqrt{4 - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Paso 4.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

Adyacente $= \sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Adyacente $= \sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

Adyacente $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

Adyacente $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.2.4.2

Reescribe la expresión.

Adyacente $= \sqrt{4 - 3}$

Paso 4.2.5

Evalúa el exponente.

Adyacente $= \sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

Adyacente $= \sqrt{4 - 3}$

Paso 4.4

Resta $3$ de $4$ .

Adyacente $= \sqrt{1}$

Paso 4.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

Adyacente $= 1$

Paso 5

Usa la definición de seno para obtener el valor de $\sin (w)$ .

$\sin (w) = \frac{opuesto}{hipotenusa}$

Paso 6

Sustituye los valores conocidos.

$\sin (w) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 7

Expande $\sin (\frac{w}{2})$ a $\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (w))}}{2}$ .

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Paso 7.1

Aplica la razón del ángulo mitad del seno.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (w)}{2}}$

Paso 7.2

Reescribe $\sqrt{\frac{1 - \cos (w)}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$

Paso 7.3

Multiplica $\frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 7.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 7.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 7.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 7.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 7.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 7.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 7.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 7.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (w)) \cdot 2}}{2}$

Paso 7.6

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (w)) \cdot 2}}{2}$ .

$\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (w))}}{2}$

Paso 8

Usa la definición de $c o s$ para obtener el valor de $\cos (w)$ . En este caso, $\cos (w) = \frac{1}{2}$ .

$\cos (w) = \frac{1}{2}$

Paso 9

Sustituye los valores en $\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (w))}}{2}$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (1 - \frac{1}{2})}}{2}$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})}}{2}$

Paso 10.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (\frac{2 - 1}{2})}}{2}$

Paso 10.3

Resta $1$ de $2$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Paso 10.4

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{\frac{2}{2}}}{2}$

Paso 10.5

Divide $2$ por $2$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{1}}{2}$

Paso 10.6

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{1}{2}$