Precálculo Ejemplos

$\cos (\frac{5 π}{8}) = - v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ , $\sin (\frac{5 π}{16})$

Paso 1

Usa la definición de coseno para obtener los lados conocidos del triángulo rectángulo del círculo unitario. El cuadrante determina el signo en cada uno de los valores.

$\cos (\frac{5 π}{8}) = \frac{adyacente}{hipotenusa}$

Paso 2

Obtén el lado opuesto del triángulo del círculo unitario. Dado que se conocen el lado adyacente y la hipotenusa, usa el teorema de Pitágoras para encontrar el lado restante.

$Opuesto = \sqrt{{hipotenusa}^{2} - {adyacente}^{2}}$

Paso 3

Reemplaza los valores conocidos en la ecuación.

$Opuesto = \sqrt{{(1)}^{2} - {(- v \frac{2 - \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 4

Simplifica dentro del radical.

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Paso 4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = - v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ .

Opuesta $= \sqrt{(1 - v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}) (1 - (- v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}))}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Combina $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ y $v$ .

Opuesta $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 - (- v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}))}$

Paso 4.2.2

Combina $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ y $v$ .

Opuesta $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Paso 4.2.3

Multiplica $- - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}$ .

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

Opuesta $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + 1 (\frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}))}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $\frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}$ por $1$ .

Opuesta $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Paso 5

Usa la definición de seno para obtener el valor de $\sin (\frac{5 π}{8})$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{opuesto}{hipotenusa}$

Paso 6

Sustituye los valores conocidos.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{\sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}}{1}$

Paso 7

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Divide $\sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$ por $1$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Paso 7.1.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{(\frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Paso 7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - (2 - \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Paso 7.3

Reescribe $\frac{2 - (2 - \sqrt{2}) v}{2}$ en forma factorizada.

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Paso 7.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 1 \cdot 2 + \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Paso 7.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 2 + \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Paso 7.3.3

Multiplica $- - \sqrt{2}$ .

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Paso 7.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 2 + 1 \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Paso 7.3.3.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 2 + \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Paso 7.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Paso 7.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot (\frac{2}{2} + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Paso 7.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot \frac{2 + (2 - \sqrt{2}) v}{2}}$

Paso 7.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot \frac{2 + 2 v - \sqrt{2} v}{2}}$

Paso 7.7

Multiplica $\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2}$ por $\frac{2 + 2 v - \sqrt{2} v}{2}$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}{2 \cdot 2}}$

Paso 7.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}{4}}$

Paso 7.9

Reescribe $\frac{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))$ .

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Paso 7.9.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}{4}}$

Paso 7.9.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}{2^{2} \cdot 1}}$

Paso 7.9.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}$

Paso 7.10

Retira los términos de abajo del radical.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}$

Paso 7.11

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{\sqrt{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}}{2}$

Paso 8

Evalúa $\sin (\frac{5 π}{16})$ .

$0.83146961$

Paso 9

Sustituye los valores en $0.83146961$ .

$\sin (\frac{5 π}{16}) = 0.83146961$