Precálculo Ejemplos

$(3, - 2)$ , $(- 2, 3)$

Paso 1

El diámetro de un círculo es cualquier segmento de recta que pase por el centro del círculo y cuyos extremos estén en la circunferencia del círculo. Los extremos dados del diámetro son $(3, - 2)$ y $(- 2, 3)$ . El punto central del círculo es el centro del diámetro, que es el punto medio entre $(3, - 2)$ y $(- 2, 3)$ . En este caso, el punto medio es $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ .

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Paso 1.1

Usa la fórmula del punto medio para obtener el punto medio del segmento.

$(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

Paso 1.2

Sustituye los valores de $(x_{1}, y_{1})$ y $(x_{2}, y_{2})$ .

$(\frac{3 - 2}{2}, \frac{- 2 + 3}{2})$

Paso 1.3

Resta $2$ de $3$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{- 2 + 3}{2})$

Paso 1.4

Suma $- 2$ y $3$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Paso 2

Obtén el radio $r$ en el círculo. El radio es cualquier segmento desde el centro del círculo hasta cualquier punto en su circunferencia. En este caso, $r$ es la distancia entre $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ y $(3, - 2)$ .

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Paso 2.1

Usa la fórmula de distancia para determinar la distancia entre los dos puntos.

$Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Paso 2.2

Sustituye los valores reales de los puntos en la fórmula de distancia.

$r = \sqrt{{(3 - \frac{1}{2})}^{2} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{{(3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.2

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{{(\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$r = \sqrt{{(\frac{3 \cdot 2 - 1}{2})}^{2} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.4.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$r = \sqrt{{(\frac{6 - 1}{2})}^{2} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.4.2

Resta $1$ de $6$ .

$r = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.5

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.6

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{2^{2}} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.8

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.9

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(\frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(\frac{- 2 \cdot 2 - 1}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.11

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.11.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(\frac{- 4 - 1}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.11.2

Resta $1$ de $- 4$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(\frac{- 5}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.13

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.3.13.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.13.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}})}$

Paso 2.3.14

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.14.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + 1 (\frac{5^{2}}{2^{2}})}$

Paso 2.3.14.2

Multiplica $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{5^{2}}{2^{2}}}$

Paso 2.3.14.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{2^{2}}}$

Paso 2.3.14.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{4}}$

Paso 2.3.14.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$r = \sqrt{\frac{25 + 25}{4}}$

Paso 2.3.14.6

Suma $25$ y $25$ .

$r = \sqrt{\frac{50}{4}}$

Paso 2.3.15

Cancela el factor común de $50$ y $4$ .

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Paso 2.3.15.1

Factoriza $2$ de $50$ .

$r = \sqrt{\frac{2 (25)}{4}}$

Paso 2.3.15.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.15.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

Paso 2.3.15.2.2

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

Paso 2.3.15.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{\frac{25}{2}}$

Paso 2.3.16

Reescribe $\sqrt{\frac{25}{2}}$ como $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$

Paso 2.3.17

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.17.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{2}}$

Paso 2.3.17.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$r = \frac{5}{\sqrt{2}}$

Paso 2.3.18

Multiplica $\frac{5}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$r = \frac{5}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 2.3.19

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.3.19.1

Multiplica $\frac{5}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 2.3.19.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 2.3.19.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 2.3.19.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 2.3.19.5

Suma $1$ y $1$ .

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 2.3.19.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.3.19.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.19.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.19.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.19.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.19.6.4.1

Cancela el factor común.

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.19.6.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.3.19.6.5

Evalúa el exponente.

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Paso 3

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$ es la forma de la ecuación para un círculo con $r$ radio y $(h, k)$ como punto central. En este caso, $r = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ y el punto central es $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ . La ecuación del círculo es ${(x - (\frac{1}{2}))}^{2} + {(y - (\frac{1}{2}))}^{2} = {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}$ .

${(x - (\frac{1}{2}))}^{2} + {(y - (\frac{1}{2}))}^{2} = {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4

La ecuación de un círculo es ${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{25}{2}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{25}{2}$

Paso 5