Precálculo Ejemplos

$(\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 1

Para obtener $\sin (θ)$ entre el eje x y la línea entre los puntos $(0, 0)$ y $(\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ , dibuja el triángulo entre los tres puntos $(0, 0)$ , $(\frac{\sqrt{5}}{2}, 0)$ y $(\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ .

Opuesto: $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Adyacente: $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Paso 2

Obtén la hipotenusa con el teorema de Pitágoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{5}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Paso 2.2

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Paso 2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Paso 2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Paso 2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{5^{1}}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Paso 2.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{5}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Paso 2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{{(2 \sqrt{5})}^{2}}{5^{2}}}$

Paso 2.4.2

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Paso 2.5.2

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 2.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}}$

Paso 2.5.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}}$

Paso 2.5.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Paso 2.5.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Paso 2.5.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 5^{1}}{5^{2}}}$

Paso 2.5.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 5}{5^{2}}}$

Paso 2.6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.6.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 5}{25}}$

Paso 2.6.2

Multiplica $4$ por $5$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{20}{25}}$

Paso 2.6.3

Cancela el factor común de $20$ y $25$ .

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Paso 2.6.3.1

Factoriza $5$ de $20$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{5 (4)}{25}}$

Paso 2.6.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.3.2.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}}$

Paso 2.6.3.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}}$

Paso 2.6.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4}{5}}$

Paso 2.7

Para escribir $\frac{5}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4}{5}}$

Paso 2.8

Para escribir $\frac{4}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 2.9

Escribe cada expresión con un denominador común de $20$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.9.1

Multiplica $\frac{5}{4}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 2.9.2

Multiplica $4$ por $5$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 5}{20} + \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 2.9.3

Multiplica $\frac{4}{5}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 5}{20} + \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4}}$

Paso 2.9.4

Multiplica $5$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 5}{20} + \frac{4 \cdot 4}{20}}$

Paso 2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 5 + 4 \cdot 4}{20}}$

Paso 2.11

Simplifica el numerador.

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Paso 2.11.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$\sqrt{\frac{25 + 4 \cdot 4}{20}}$

Paso 2.11.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{25 + 16}{20}}$

Paso 2.11.3

Suma $25$ y $16$ .

$\sqrt{\frac{41}{20}}$

Paso 2.12

Reescribe $\sqrt{\frac{41}{20}}$ como $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{20}}$ .

$\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{20}}$

Paso 2.13

Simplifica el denominador.

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Paso 2.13.1

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 2.13.1.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{4 (5)}}$

Paso 2.13.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}$

Paso 2.13.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{\sqrt{41}}{2 \sqrt{5}}$

Paso 2.14

Multiplica $\frac{\sqrt{41}}{2 \sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{41}}{2 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 2.15

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.15.1

Multiplica $\frac{\sqrt{41}}{2 \sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 2.15.2

Mueve $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Paso 2.15.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}$

Paso 2.15.4

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}$

Paso 2.15.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 2.15.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 2.15.7

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 2.15.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.15.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.15.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.15.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.15.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.15.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{1}}$

Paso 2.15.7.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Paso 2.16

Simplifica el numerador.

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Paso 2.16.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{41 \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Paso 2.16.2

Multiplica $41$ por $5$ .

$\frac{\sqrt{205}}{2 \cdot 5}$

Paso 2.17

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{\sqrt{205}}{10}$

Paso 3

$\sin (θ) = \frac{Opuesto}{Hipotenusa}$ por lo tanto $\sin (θ) = \frac{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{205}}{10}}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{205}}{10}}$

Paso 4

Simplifica $\sin (θ)$ .

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Paso 4.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{10}{\sqrt{205}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5 (2)}{\sqrt{205}}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5 \cdot 2}{\sqrt{205}}$

Paso 4.2.3

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = 2 \sqrt{5} (\frac{2}{\sqrt{205}})$

Paso 4.3

Combina $\frac{2}{\sqrt{205}}$ y $2$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{205}} \cdot \sqrt{5}$

Paso 4.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sin (θ) = \frac{4}{\sqrt{205}} \cdot \sqrt{5}$

Paso 4.5

Combina $\frac{4}{\sqrt{205}}$ y $\sqrt{5}$ .

$\sin (θ) = \frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{205}}$

Paso 4.6

Combina $\sqrt{5}$ y $\sqrt{205}$ en un solo radical.

$\sin (θ) = 4 \sqrt{\frac{5}{205}}$

Paso 4.7

Cancela el factor común de $5$ y $205$ .

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Paso 4.7.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\sin (θ) = 4 \sqrt{\frac{5 (1)}{205}}$

Paso 4.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.7.2.1

Factoriza $5$ de $205$ .

$\sin (θ) = 4 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 41}}$

Paso 4.7.2.2

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = 4 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 41}}$

Paso 4.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = 4 \sqrt{\frac{1}{41}}$

Paso 4.8

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{41}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{41}}$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{41}})$

Paso 4.9

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{1}{\sqrt{41}})$

Paso 4.10

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{41}}$ por $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{1}{\sqrt{41}} \cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}})$

Paso 4.11

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.11.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{41}}$ por $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}})$

Paso 4.11.2

Eleva $\sqrt{41}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}})$

Paso 4.11.3

Eleva $\sqrt{41}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}})$

Paso 4.11.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1 + 1}})$

Paso 4.11.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{2}})$

Paso 4.11.6

Reescribe ${\sqrt{41}}^{2}$ como $41$ .

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Paso 4.11.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{41}$ como $41^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{{(41^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 4.11.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{41^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 4.11.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}})$

Paso 4.11.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.11.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}})$

Paso 4.11.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{41})$

Paso 4.11.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{41})$

Paso 4.12

Combina $4$ y $\frac{\sqrt{41}}{41}$ .

$\sin (θ) = \frac{4 \sqrt{41}}{41}$

Paso 5

Aproxima el resultado.

$\sin (θ) = \frac{4 \sqrt{41}}{41} \approx 0.62469504$