Precálculo Ejemplos

$1 = \frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} = 1$ .

$\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} = 1$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{4} + 81, 1$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis.

$x^{4} + 81, 1$

Paso 2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{4} + 81$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} = 1$ por $x^{4} + 81$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} = 1$ por $x^{4} + 81$ .

$\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} (x^{4} + 81) = 1 (x^{4} + 81)$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $x^{4} + 81$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} (x^{4} + 81) = 1 (x^{4} + 81)$

Paso 3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$18 x^{2} = 1 (x^{4} + 81)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Multiplica $x^{4} + 81$ por $1$ .

$18 x^{2} = x^{4} + 81$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Resta $x^{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$18 x^{2} - x^{4} = 81$

Paso 4.2

Resta $81$ de ambos lados de la ecuación.

$18 x^{2} - x^{4} - 81 = 0$

Paso 4.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Factoriza $- 1$ de $18 x^{2} - x^{4} - 81$ .

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Paso 4.3.1.1

Reordena $18 x^{2}$ y $- x^{4}$ .

$- x^{4} + 18 x^{2} - 81 = 0$

Paso 4.3.1.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{4}$ .

$- (x^{4}) + 18 x^{2} - 81 = 0$

Paso 4.3.1.3

Factoriza $- 1$ de $18 x^{2}$ .

$- (x^{4}) - (- 18 x^{2}) - 81 = 0$

Paso 4.3.1.4

Reescribe $- 81$ como $- 1 (81)$ .

$- (x^{4}) - (- 18 x^{2}) - 1 \cdot 81 = 0$

Paso 4.3.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{4}) - (- 18 x^{2})$ .

$- (x^{4} - 18 x^{2}) - 1 \cdot 81 = 0$

Paso 4.3.1.6

Factoriza $- 1$ de $- (x^{4} - 18 x^{2}) - 1 (81)$ .

$- (x^{4} - 18 x^{2} + 81) = 0$

Paso 4.3.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- ({(x^{2})}^{2} - 18 x^{2} + 81) = 0$

Paso 4.3.3

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- (u^{2} - 18 u + 81) = 0$

Paso 4.3.4

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.3.4.1

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$- (u^{2} - 18 u + 9^{2}) = 0$

Paso 4.3.4.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$18 u = 2 \cdot u \cdot 9$

Paso 4.3.4.3

Reescribe el polinomio.

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

Paso 4.3.4.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 9$ .

$- {(u - 9)}^{2} = 0$

Paso 4.3.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{2} = 0$

Paso 4.3.6

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- {(x^{2} - 3^{2})}^{2} = 0$

Paso 4.3.7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$- {((x + 3) (x - 3))}^{2} = 0$

Paso 4.3.8

Factoriza.

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Paso 4.3.8.1

Aplica la regla del producto a $(x + 3) (x - 3)$ .

$- ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}) = 0$

Paso 4.3.8.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 4.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 4.5

Establece ${(x + 3)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.5.1

Establece ${(x + 3)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Paso 4.5.2

Resuelve ${(x + 3)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.5.2.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 4.5.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 4.6

Establece ${(x - 3)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.6.1

Establece ${(x - 3)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 4.6.2

Resuelve ${(x - 3)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.6.2.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 4.6.2.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 4.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = - 3, 3$