Precálculo Ejemplos

$5 x^{2} + 10 x + 5 y^{2} + 19 y = 9$

Paso 1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x^{2} + 10 x + 5 y^{2} + 19 y - 9 = 0$

Paso 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3

Sustituye los valores $a = 5$ , $b = 19$ y $c = 5 x^{2} + 10 x - 9$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9))}}{2 \cdot 5}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $19$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Multiplica $5$ por $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Paso 4.1.4.2

Multiplica $10$ por $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Paso 4.1.4.3

Multiplica $- 20$ por $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x + 180}}{2 \cdot 5}$

Paso 4.1.5

Suma $361$ y $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Paso 5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $19$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.1.4

Simplifica.

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Paso 5.1.4.1

Multiplica $5$ por $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.1.4.2

Multiplica $10$ por $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.1.4.3

Multiplica $- 20$ por $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x + 180}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.1.5

Suma $361$ y $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Paso 5.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{- 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Paso 5.4

Reescribe $- 19$ como $- 1 (19)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Paso 5.5

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Paso 5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (19) - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- 1 (19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Paso 5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Paso 6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Eleva $19$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Paso 6.1.4

Simplifica.

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Paso 6.1.4.1

Multiplica $5$ por $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Paso 6.1.4.2

Multiplica $10$ por $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Paso 6.1.4.3

Multiplica $- 20$ por $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x + 180}}{2 \cdot 5}$

Paso 6.1.5

Suma $361$ y $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Paso 6.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Paso 6.4

Factoriza $- 1$ de $- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

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Paso 6.4.1

Reescribe $- 19$ como $- 1 (19)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Paso 6.4.2

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Paso 6.4.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (19) - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Paso 6.4.4

Reescribe $- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ como $- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Paso 6.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Paso 7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Paso 8

La función principal es la forma más simple del tipo de función dado.

$y = x^{2}$

Paso 9

Resuelve $5 y^{2} + 19 y = 9 - 5 x^{2} - 10 x$ en $y$ .

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Paso 9.1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$5 y^{2} + 19 y - 9 = - 5 x^{2} - 10 x$

Paso 9.1.2

Suma $5 x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$5 y^{2} + 19 y - 9 + 5 x^{2} = - 10 x$

Paso 9.1.3

Suma $10 x$ a ambos lados de la ecuación.

$5 y^{2} + 19 y - 9 + 5 x^{2} + 10 x = 0$

Paso 9.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 9.3

Sustituye los valores $a = 5$ , $b = 19$ y $c = - 9 + 5 x^{2} + 10 x$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x))}}{2 \cdot 5}$

Paso 9.4

Simplifica.

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Paso 9.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.1.1

Eleva $19$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Paso 9.4.1.2

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Paso 9.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot - 9 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Paso 9.4.1.4

Simplifica.

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Paso 9.4.1.4.1

Multiplica $- 20$ por $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Paso 9.4.1.4.2

Multiplica $5$ por $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Paso 9.4.1.4.3

Multiplica $10$ por $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Paso 9.4.1.5

Suma $361$ y $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{541 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Paso 9.4.1.6

Reordena los términos.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Paso 9.4.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Paso 9.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 9.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.5.1.1

Eleva $19$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Paso 9.5.1.2

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Paso 9.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot - 9 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Paso 9.5.1.4

Simplifica.

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Paso 9.5.1.4.1

Multiplica $- 20$ por $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Paso 9.5.1.4.2

Multiplica $5$ por $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Paso 9.5.1.4.3

Multiplica $10$ por $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Paso 9.5.1.5

Suma $361$ y $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{541 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Paso 9.5.1.6

Reordena los términos.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Paso 9.5.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Paso 9.5.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{- 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Paso 9.5.4

Reescribe $- 19$ como $- 1 (19)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Paso 9.5.5

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Paso 9.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (19) - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- 1 (19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Paso 9.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Paso 9.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 9.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.6.1.1

Eleva $19$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Paso 9.6.1.2

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Paso 9.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot - 9 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Paso 9.6.1.4

Simplifica.

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Paso 9.6.1.4.1

Multiplica $- 20$ por $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Paso 9.6.1.4.2

Multiplica $5$ por $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Paso 9.6.1.4.3

Multiplica $10$ por $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Paso 9.6.1.5

Suma $361$ y $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{541 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Paso 9.6.1.6

Reordena los términos.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Paso 9.6.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Paso 9.6.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Paso 9.6.4

Factoriza $- 1$ de $- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

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Paso 9.6.4.1

Reescribe $- 19$ como $- 1 (19)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Paso 9.6.4.2

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Paso 9.6.4.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (19) - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Paso 9.6.4.4

Reescribe $- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ como $- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Paso 9.6.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Paso 9.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Paso 10

Supón que $y = x^{2}$ es $f (x) = x^{2}$ y $5 y^{2} + 19 y = 9 - 5 x^{2} - 10 x$ es $g (x) = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}, - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$ .

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}, - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Paso 11

Las funciones dadas son de diferentes tipos. Transformar una función no cambia su tipo, por lo que es imposible transformar $f (x) = x^{2}$ en $g (x) = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$ .

Transformación geométrica imposible

Paso 12