Precálculo Ejemplos

$y = {(x + 1)}^{2}$

Paso 1

La función principal es la forma más simple del tipo de función dado.

$y = x^{2}$

Paso 2

Simplifica ${(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 2.1

Reescribe ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$y = (x + 1) (x + 1)$

Paso 2.2

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Paso 2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Paso 2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Paso 2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Paso 2.3.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$y = x^{2} + x + x + 1$

Paso 2.3.2

Suma $x$ y $x$ .

$y = x^{2} + 2 x + 1$

Paso 3

Supón que $y = x^{2}$ es $f (x) = x^{2}$ y $y = {(x + 1)}^{2}$ es $g (x) = x^{2} + 2 x + 1$ .

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = x^{2} + 2 x + 1$

Paso 4

La transformación que se describe es de $f (x) = x^{2}$ a $g (x) = x^{2} + 2 x + 1$ .

$f (x) = x^{2} \to g (x) = x^{2} + 2 x + 1$

Paso 5

Obtén la forma del vértice de $g (x) = x^{2} + 2 x + 1$ .

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Paso 5.1

Completa el cuadrado de $x^{2} + 2 x + 1$ .

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Paso 5.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 1$

Paso 5.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$d = 1$

Paso 5.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 1 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Paso 5.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 1 - \frac{4}{4}$

Paso 5.1.4.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.1.4.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$e = 1 - \frac{4}{4}$

Paso 5.1.4.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$e = 1 - 1 \cdot 1$

Paso 5.1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e = 1 - 1$

Paso 5.1.4.2.2

Resta $1$ de $1$ .

$e = 0$

Paso 5.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x + 1)}^{2} + 0$ .

${(x + 1)}^{2} + 0$

Paso 5.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = {(x + 1)}^{2} + 0$

Paso 6

El cambio horizontal depende del valor de $h$ . Este se describe de la siguiente manera:

$g (x) = f (x + h)$ : La gráfica se desplaza hacia la izquierda $h$ unidades.

$g (x) = f (x - h)$ : La gráfica se desplaza hacia la derecha $h$ unidades.

Desplazamiento horizontal: unidades $1$ a la izquierda

Paso 7

El desplazamiento vertical depende del valor de $k$ . Este se describe de la siguiente manera:

$g (x) = f (x) + k$ : La gráfica se desplaza hacia arriba $k$ unidades.

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

En este caso, $k = 0$ , lo que significa que la gráfica no se desplaza hacia arriba o hacia abajo

Desplazamiento vertical: ninguno

Paso 8

La gráfica se refleja en el eje x cuando $g (x) = - f (x)$ .

Reflejo en el eje x: ninguno

Paso 9

La gráfica se refleja en el eje y cuando $g (x) = f (- x)$ .

Reflejo en el eje y: ninguno

Paso 10

Comprimir y estirar depende del valor de $a$ .

Cuando $a$ es mayor que $1$ : expandido verticalmente

Cuando $a$ está entre $0$ y $1$ : comprimido verticalmente

Compresión o expansión vertical: ninguna

Paso 11

Compara y enumera las transformaciones.

Función principal: $y = x^{2}$

Desplazamiento horizontal: unidades $1$ a la izquierda

Desplazamiento vertical: ninguno

Reflejo en el eje x: ninguno

Reflejo en el eje y: ninguno

Compresión o expansión vertical: ninguna

Paso 12