Precálculo Ejemplos

$\ln (x - 8) - \ln (x + 7) = \ln (x - 10) - \ln (x + 8)$

Paso 1

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 1.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 8}{x + 7}) = \ln (x - 10) - \ln (x + 8)$

Paso 1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 8}{x + 7}) = \ln (\frac{x - 10}{x + 8})$

Paso 1.4

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$\frac{x - 8}{x + 7} = \frac{x - 10}{x + 8}$

Paso 1.5

Resuelve $x$

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Paso 1.5.1

Factoriza cada término.

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Paso 1.5.1.1

Divide la fracción $\frac{x - 8}{x + 7}$ en dos fracciones.

$\frac{x}{x + 7} + \frac{- 8}{x + 7} = \frac{x - 10}{x + 8}$

Paso 1.5.1.2

Divide la fracción $\frac{x - 10}{x + 8}$ en dos fracciones.

$\frac{x}{x + 7} + \frac{- 8}{x + 7} = \frac{x}{x + 8} + \frac{- 10}{x + 8}$

Paso 1.5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x + 7, x + 7, x + 8, x + 8$

Paso 1.5.2.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 1.5.2.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 1.5.2.4

El MCM de $1, 1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 1.5.2.5

El factor para $x + 7$ es $x + 7$ en sí mismo.

$(x + 7) = x + 7$

$(x + 7)$ ocurre $1$ vez.

Paso 1.5.2.6

El factor para $x + 8$ es $x + 8$ en sí mismo.

$(x + 8) = x + 8$

$(x + 8)$ ocurre $1$ vez.

Paso 1.5.2.7

El MCM de $x + 7, x + 7, x + 8, x + 8$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(x + 7) (x + 8)$

Paso 1.5.3

Multiplica cada término en $\frac{x}{x + 7} + \frac{- 8}{x + 7} = \frac{x}{x + 8} + \frac{- 10}{x + 8}$ por $(x + 7) (x + 8)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 1.5.3.1

Multiplica cada término en $\frac{x}{x + 7} + \frac{- 8}{x + 7} = \frac{x}{x + 8} + \frac{- 10}{x + 8}$ por $(x + 7) (x + 8)$ .

$\frac{x}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.3.2.1.1

Cancela el factor común de $x + 7$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Paso 1.5.3.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x (x + 8) + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Paso 1.5.3.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 8 + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Paso 1.5.3.2.1.3

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 8 + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Paso 1.5.3.2.1.4

Mueve $8$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + 8 \cdot x + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Paso 1.5.3.2.1.5

Cancela el factor común de $x + 7$ .

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Paso 1.5.3.2.1.5.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + 8 x + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Paso 1.5.3.2.1.5.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} + 8 x - 8 (x + 8) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Paso 1.5.3.2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 8 x - 8 x - 8 \cdot 8 = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Paso 1.5.3.2.1.7

Multiplica $- 8$ por $8$ .

$x^{2} + 8 x - 8 x - 64 = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Paso 1.5.3.2.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} + 8 x - 8 x - 64$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Resta $8 x$ de $8 x$ .

$x^{2} + 0 - 64 = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Paso 1.5.3.2.2.2

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$x^{2} - 64 = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Paso 1.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $x + 8$ .

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Paso 1.5.3.3.1.1.1

Factoriza $x + 8$ de $(x + 7) (x + 8)$ .

$x^{2} - 64 = \frac{x}{x + 8} ((x + 8) (x + 7)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Paso 1.5.3.3.1.1.2

Cancela el factor común.

$x^{2} - 64 = \frac{x}{x + 8} ((x + 8) (x + 7)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Paso 1.5.3.3.1.1.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} - 64 = x (x + 7) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Paso 1.5.3.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 64 = x \cdot x + x \cdot 7 + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Paso 1.5.3.3.1.3

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} + x \cdot 7 + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Paso 1.5.3.3.1.4

Mueve $7$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 \cdot x + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Paso 1.5.3.3.1.5

Cancela el factor común de $x + 8$ .

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Paso 1.5.3.3.1.5.1

Factoriza $x + 8$ de $(x + 7) (x + 8)$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 x + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 8) (x + 7))$

Paso 1.5.3.3.1.5.2

Cancela el factor común.

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 x + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 8) (x + 7))$

Paso 1.5.3.3.1.5.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 x - 10 (x + 7)$

Paso 1.5.3.3.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 x - 10 x - 10 \cdot 7$

Paso 1.5.3.3.1.7

Multiplica $- 10$ por $7$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 x - 10 x - 70$

Paso 1.5.3.3.2

Resta $10 x$ de $7 x$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} - 3 x - 70$

Paso 1.5.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.5.4.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{2} - 3 x - 70 = x^{2} - 64$

Paso 1.5.4.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.5.4.2.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 3 x - 70 - x^{2} = - 64$

Paso 1.5.4.2.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} - 3 x - 70 - x^{2}$ .

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Paso 1.5.4.2.2.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 3 x - 70 + 0 = - 64$

Paso 1.5.4.2.2.2

Suma $- 3 x - 70$ y $0$ .

$- 3 x - 70 = - 64$

Paso 1.5.4.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.5.4.3.1

Suma $70$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3 x = - 64 + 70$

Paso 1.5.4.3.2

Suma $- 64$ y $70$ .

$- 3 x = 6$

Paso 1.5.4.4

Divide cada término en $- 3 x = 6$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 1.5.4.4.1

Divide cada término en $- 3 x = 6$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{6}{- 3}$

Paso 1.5.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.4.4.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 1.5.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{6}{- 3}$

Paso 1.5.4.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{6}{- 3}$

Paso 1.5.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.4.3.1

Divide $6$ por $- 3$ .

$x = - 2$

Paso 1.6

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (\frac{x - 8}{x + 7}) = \ln (\frac{x - 10}{x + 8})$ sea verdadera.

$No hay solución$

Paso 2

La ecuación no es lineal, por lo que no existe pendiente constante.

No es lineal