Precálculo Ejemplos

$f (2) = - 1$ , $f^{- 1} (9) = 4$

Paso 1

Obtén cada ecuación del plano en ecuación ordinaria.

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Paso 1.1

Mueve $2$ a la izquierda de $f$ .

$2 f = - 1, f^{- 1} (9) = 4$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 f = - 1, \frac{1}{f} \cdot 9 = 4$

Paso 1.2.2

Combina $\frac{1}{f}$ y $9$ .

$2 f = - 1, \frac{9}{f} = 4$

Paso 2

Para obtener la intersección de la línea que pasa por un punto $(p, q, r)$ perpendicular al plano $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ y al plano $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Busca los vectores normales del plano $P_{1}$ y del plano $P_{2}$ donde los vectores normales son $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ y $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Comprueba si el producto escalar es 0.

2. Crea un conjunto de ecuaciones paramétricas tales que $x = p + a t$ , $y = q + b t$ y $z = r + c t$ .

3. Sustituye estas ecuaciones en la ecuación del plano $P_{2}$ tal que $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ y resuelve para $t$ .

4. A partir del valor de $t$ , resuelve las ecuaciones paramétricas $x = p + a t$ , $y = q + b t$ y $z = r + c t$ en $t$ para obtener la intersección de $(x, y, z)$ .

Paso 3

Obtén los vectores normales para cada plano y determina si son perpendiculares mediante el cálculo del producto escalar.

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Paso 3.1

$P_{1}$ es $2 f = - 1$ . Encuentra el vector normal $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ a partir de la ecuación del plano de la forma $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ 0, 0, 0 ⟩$

Paso 3.2

$P_{2}$ es $\frac{9}{f} = 4$ . Encuentra el vector normal $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ a partir de la ecuación del plano de la forma $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 0, 0, 0 ⟩$

Paso 3.3

Calcula el producto escalar de $n_{1}$ y $n_{2}$ mediante la suma de los productos de los valores correspondientes de $x$ , $y$ y $z$ en los vectores normales.

$0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0$

Paso 3.4

Simplifica el producto escalar.

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Paso 3.4.1

Elimina los paréntesis.

$0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0$

Paso 3.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $0$ por $0$ .

$0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0$

Paso 3.4.2.2

Multiplica $0$ por $0$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 0$

Paso 3.4.2.3

Multiplica $0$ por $0$ .

$0 + 0 + 0$

Paso 3.4.3

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 3.4.3.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 0$

Paso 3.4.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 4

El producto escalar es $0$ , así es que los planos son perpendiculares.

No hay ninguna intersección.