Precálculo Ejemplos

$\sin (x) = \frac{2}{9}$ , $0 < x < \frac{π}{2}$

Paso 1

Resta $\sin (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$0 = \frac{2}{9} - \sin (x)$

Paso 2

Según el teorema de valor medio, si $f$ es una función continua con valor real en el intervalo $[a, b]$ y $u$ es un número entre $f (a)$ y $f (b)$ , entonces hay una $c$ contenida en el intervalo $[a, b]$ de tal modo que $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Paso 3

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

Calcula $f (a) = f (0) = \frac{2}{9} - \sin (0)$ .

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f (0) = \frac{2}{9} - 0$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = \frac{2}{9} + 0$

Paso 4.2

Suma $\frac{2}{9}$ y $0$ .

$f (0) = \frac{2}{9}$

Paso 5

Calcula $f (b) = f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - \sin (\frac{π}{2})$ .

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1 \cdot 1$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1$

Paso 5.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}$

Paso 5.3

Combina $- 1$ y $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

Paso 5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 - 1 \cdot 9}{9}$

Paso 5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 - 9}{9}$

Paso 5.5.2

Resta $9$ de $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 7}{9}$

Paso 5.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{7}{9}$

Paso 6

Since $0$ is on the interval $[- \frac{7}{9}, \frac{2}{9}]$ , solve the equation for $x$ at the root.

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{2}{9} - \sin (x) = 0$ .

$\frac{2}{9} - \sin (x) = 0$

Paso 6.2

Resta $\frac{2}{9}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \sin (x) = - \frac{2}{9}$

Paso 6.3

Divide cada término en $- \sin (x) = - \frac{2}{9}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.3.1

Divide cada término en $- \sin (x) = - \frac{2}{9}$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

Paso 6.3.2.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\sin (x) = \frac{\frac{2}{9}}{1}$

Paso 6.3.3.2

Divide $\frac{2}{9}$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{2}{9}$

Paso 6.4

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{2}{9})$

Paso 6.5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.1

Evalúa $\arcsin (\frac{2}{9})$ .

$x = 0.22409309$

Paso 6.6

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = (3.14159265) - 0.22409309$

Paso 6.7

Resuelve $x$

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Paso 6.7.1

Elimina los paréntesis.

$x = 3.14159265 - 0.22409309$

Paso 6.7.2

Elimina los paréntesis.

$x = (3.14159265) - 0.22409309$

Paso 6.7.3

Resta $0.22409309$ de $3.14159265$ .

$x = 2.91749956$

Paso 6.8

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 6.8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.8.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.8.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.8.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.9

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 0.22409309 + 2 π n, 2.91749956 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Según el teorema de valor medio, hay una raíz $f (c) = 0$ en el intervalo $[- \frac{7}{9}, \frac{2}{9}]$ porque $f$ es una función continua en $[0, \frac{π}{2}]$ .

Las raíces en el intervalo $[0, \frac{π}{2}]$ se ubican en .

Paso 8