Precálculo Ejemplos

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{4} = 1$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo $\frac{{(x - 1)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{4}$ .

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{{(x - 1)}^{2}}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{9} \cdot \frac{4}{4} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{4} = 1$

Paso 1.2

Para escribir $- \frac{{(y - 3)}^{2}}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{9} \cdot \frac{4}{4} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{4} \cdot \frac{9}{9} = 1$

Paso 1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $36$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{{(x - 1)}^{2}}{9}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \cdot 4}{9 \cdot 4} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{4} \cdot \frac{9}{9} = 1$

Paso 1.3.2

Multiplica $9$ por $4$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \cdot 4}{36} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{4} \cdot \frac{9}{9} = 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $\frac{{(y - 3)}^{2}}{4}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \cdot 4}{36} - \frac{{(y - 3)}^{2} \cdot 9}{4 \cdot 9} = 1$

Paso 1.3.4

Multiplica $4$ por $9$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \cdot 4}{36} - \frac{{(y - 3)}^{2} \cdot 9}{36} = 1$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \cdot 4 - {(y - 3)}^{2} \cdot 9}{36} = 1$

Paso 1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2} \cdot 4$ como ${((x - 1) \cdot 2)}^{2}$ .

$\frac{{((x - 1) \cdot 2)}^{2} - {(y - 3)}^{2} \cdot 9}{36} = 1$

Paso 1.5.2

Reescribe ${(y - 3)}^{2} \cdot 9$ como ${((y - 3) \cdot 3)}^{2}$ .

$\frac{{((x - 1) \cdot 2)}^{2} - {((y - 3) \cdot 3)}^{2}}{36} = 1$

Paso 1.5.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = (x - 1) \cdot 2$ y $b = (y - 3) \cdot 3$ .

$\frac{((x - 1) \cdot 2 + (y - 3) \cdot 3) ((x - 1) \cdot 2 - ((y - 3) \cdot 3))}{36} = 1$

Paso 1.5.4

Simplifica.

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Paso 1.5.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x \cdot 2 - 1 \cdot 2 + (y - 3) \cdot 3) ((x - 1) \cdot 2 - ((y - 3) \cdot 3))}{36} = 1$

Paso 1.5.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{(2 \cdot x - 1 \cdot 2 + (y - 3) \cdot 3) ((x - 1) \cdot 2 - ((y - 3) \cdot 3))}{36} = 1$

Paso 1.5.4.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{(2 \cdot x - 2 + (y - 3) \cdot 3) ((x - 1) \cdot 2 - ((y - 3) \cdot 3))}{36} = 1$

Paso 1.5.4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x - 2 + y \cdot 3 - 3 \cdot 3) ((x - 1) \cdot 2 - ((y - 3) \cdot 3))}{36} = 1$

Paso 1.5.4.5

Mueve $3$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{(2 x - 2 + 3 \cdot y - 3 \cdot 3) ((x - 1) \cdot 2 - ((y - 3) \cdot 3))}{36} = 1$

Paso 1.5.4.6

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{(2 x - 2 + 3 \cdot y - 9) ((x - 1) \cdot 2 - ((y - 3) \cdot 3))}{36} = 1$

Paso 1.5.4.7

Resta $9$ de $- 2$ .

$\frac{(2 x + 3 y - 11) ((x - 1) \cdot 2 - ((y - 3) \cdot 3))}{36} = 1$

Paso 1.5.4.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 3 y - 11) (x \cdot 2 - 1 \cdot 2 - ((y - 3) \cdot 3))}{36} = 1$

Paso 1.5.4.9

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{(2 x + 3 y - 11) (2 \cdot x - 1 \cdot 2 - ((y - 3) \cdot 3))}{36} = 1$

Paso 1.5.4.10

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{(2 x + 3 y - 11) (2 \cdot x - 2 - ((y - 3) \cdot 3))}{36} = 1$

Paso 1.5.4.11

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 3 y - 11) (2 x - 2 - (y \cdot 3 - 3 \cdot 3))}{36} = 1$

Paso 1.5.4.12

Mueve $3$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{(2 x + 3 y - 11) (2 x - 2 - (3 \cdot y - 3 \cdot 3))}{36} = 1$

Paso 1.5.4.13

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{(2 x + 3 y - 11) (2 x - 2 - (3 \cdot y - 9))}{36} = 1$

Paso 1.5.4.14

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 3 y - 11) (2 x - 2 - (3 y) + 9)}{36} = 1$

Paso 1.5.4.15

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{(2 x + 3 y - 11) (2 x - 2 - 3 y + 9)}{36} = 1$

Paso 1.5.4.16

Multiplica $- 1$ por $- 9$ .

$\frac{(2 x + 3 y - 11) (2 x - 2 - 3 y + 9)}{36} = 1$

Paso 1.5.4.17

Suma $- 2$ y $9$ .

$\frac{(2 x + 3 y - 11) (2 x - 3 y + 7)}{36} = 1$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $36$ .

$\frac{(2 x + 3 y - 11) (2 x - 3 y + 7)}{36} \cdot 36 = 1 \cdot 36$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Simplifica $\frac{(2 x + 3 y - 11) (2 x - 3 y + 7)}{36} \cdot 36$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común de $36$ .

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Paso 3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x + 3 y - 11) (2 x - 3 y + 7)}{36} \cdot 36 = 1 \cdot 36$

Paso 3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$(2 x + 3 y - 11) (2 x - 3 y + 7) = 1 \cdot 36$

Paso 3.1.1.2

Expande $(2 x + 3 y - 11) (2 x - 3 y + 7)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$2 x (2 x) + 2 x (- 3 y) + 2 x \cdot 7 + 3 y (2 x) + 3 y (- 3 y) + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Paso 3.1.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x (- 3 y) + 2 x \cdot 7 + 3 y (2 x) + 3 y (- 3 y) + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Paso 3.1.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x (- 3 y) + 2 x \cdot 7 + 3 y (2 x) + 3 y (- 3 y) + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Paso 3.1.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 \cdot 2 x^{2} + 2 x (- 3 y) + 2 x \cdot 7 + 3 y (2 x) + 3 y (- 3 y) + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Paso 3.1.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x^{2} + 2 x (- 3 y) + 2 x \cdot 7 + 3 y (2 x) + 3 y (- 3 y) + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Paso 3.1.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 x^{2} + 2 \cdot - 3 x y + 2 x \cdot 7 + 3 y (2 x) + 3 y (- 3 y) + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Paso 3.1.1.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$4 x^{2} - 6 x y + 2 x \cdot 7 + 3 y (2 x) + 3 y (- 3 y) + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Paso 3.1.1.3.1.6

Multiplica $7$ por $2$ .

$4 x^{2} - 6 x y + 14 x + 3 y (2 x) + 3 y (- 3 y) + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Paso 3.1.1.3.1.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 x^{2} - 6 x y + 14 x + 3 \cdot 2 y x + 3 y (- 3 y) + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Paso 3.1.1.3.1.8

Multiplica $3$ por $2$ .

$4 x^{2} - 6 x y + 14 x + 6 y x + 3 y (- 3 y) + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Paso 3.1.1.3.1.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 x^{2} - 6 x y + 14 x + 6 y x + 3 \cdot - 3 y \cdot y + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Paso 3.1.1.3.1.10

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.1.3.1.10.1

Mueve $y$ .

$4 x^{2} - 6 x y + 14 x + 6 y x + 3 \cdot - 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Paso 3.1.1.3.1.10.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$4 x^{2} - 6 x y + 14 x + 6 y x + 3 \cdot - 3 y^{2} + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Paso 3.1.1.3.1.11

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$4 x^{2} - 6 x y + 14 x + 6 y x - 9 y^{2} + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Paso 3.1.1.3.1.12

Multiplica $7$ por $3$ .

$4 x^{2} - 6 x y + 14 x + 6 y x - 9 y^{2} + 21 y - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Paso 3.1.1.3.1.13

Multiplica $2$ por $- 11$ .

$4 x^{2} - 6 x y + 14 x + 6 y x - 9 y^{2} + 21 y - 22 x - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Paso 3.1.1.3.1.14

Multiplica $- 3$ por $- 11$ .

$4 x^{2} - 6 x y + 14 x + 6 y x - 9 y^{2} + 21 y - 22 x + 33 y - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Paso 3.1.1.3.1.15

Multiplica $- 11$ por $7$ .

$4 x^{2} - 6 x y + 14 x + 6 y x - 9 y^{2} + 21 y - 22 x + 33 y - 77 = 1 \cdot 36$

Paso 3.1.1.3.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.1.1.3.2.1

Combina los términos opuestos en $4 x^{2} - 6 x y + 14 x + 6 y x - 9 y^{2} + 21 y - 22 x + 33 y - 77$ .

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Paso 3.1.1.3.2.1.1

Reordena los factores en los términos $- 6 x y$ y $6 y x$ .

$4 x^{2} - 6 x y + 14 x + 6 x y - 9 y^{2} + 21 y - 22 x + 33 y - 77 = 1 \cdot 36$

Paso 3.1.1.3.2.1.2

Suma $- 6 x y$ y $6 x y$ .

$4 x^{2} + 14 x + 0 - 9 y^{2} + 21 y - 22 x + 33 y - 77 = 1 \cdot 36$

Paso 3.1.1.3.2.1.3

Suma $4 x^{2} + 14 x$ y $0$ .

$4 x^{2} + 14 x - 9 y^{2} + 21 y - 22 x + 33 y - 77 = 1 \cdot 36$

Paso 3.1.1.3.2.2

Resta $22 x$ de $14 x$ .

$4 x^{2} - 8 x - 9 y^{2} + 21 y + 33 y - 77 = 1 \cdot 36$

Paso 3.1.1.3.2.3

Suma $21 y$ y $33 y$ .

$4 x^{2} - 8 x - 9 y^{2} + 54 y - 77 = 1 \cdot 36$

Paso 3.1.1.3.2.4

Mueve $- 8 x$ .

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 8 x + 54 y - 77 = 1 \cdot 36$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Multiplica $36$ por $1$ .

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 8 x + 54 y - 77 = 36$

Paso 4

Establece la ecuación igual a cero.

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Paso 4.1

Resta $36$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 8 x + 54 y - 77 - 36 = 0$

Paso 4.2

Resta $36$ de $- 77$ .

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 8 x + 54 y - 113 = 0$