Precálculo Ejemplos

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

Paso 1

Esta es una progresión geométrica porque hay una razón en común entre cada término. En este caso, multiplicar el término anterior en la progresión por $\frac{1}{2}$ da el término siguiente. En otras palabras, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

progresión geométrica: $r = \frac{1}{2}$

Paso 2

Esta es la forma de una progresión geométrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Paso 3

Sustituye los valores de $a_{1} = \frac{1}{2}$ y $r = \frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Paso 4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

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Paso 4.1.1

Eleva $\frac{1}{2}$ a la potencia de $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{1} {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Paso 4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{1 + n - 1}$

Paso 4.2

Combina los términos opuestos en $1 + n - 1$ .

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n + 0}$

Paso 4.2.2

Suma $n$ y $0$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n}$

Paso 5

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1^{n}}{2^{n}}$

Paso 6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$a_{n} = \frac{1}{2^{n}}$

Paso 7

Esta es la fórmula para obtener la suma de los primeros términos $n$ de la progresión geométrica. Para evaluarla, obtén los valores de $r$ y $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Paso 8

Reemplaza las variables con los valores conocidos para obtener $S_{4}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1^{4}}{2^{4}} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 9.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2^{4}} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 9.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 9.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{16}{16}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 9.5

Combina $- 1$ y $\frac{16}{16}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 9.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 16}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 9.7

Simplifica el numerador.

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Paso 9.7.1

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1 - 16}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 9.7.2

Resta $16$ de $1$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{- 15}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 9.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 10

Simplifica el denominador.

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Paso 10.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 10.2

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 10.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 10.4

Simplifica el numerador.

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Paso 10.4.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1 - 2}{2}}$

Paso 10.4.2

Resta $2$ de $1$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{- 1}{2}}$

Paso 10.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{1}{2}}$

Paso 11

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 11.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{15}{16}}{\frac{1}{2}}$

Paso 11.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{15}{16} \cdot 2)$

Paso 11.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.3.1

Factoriza $2$ de $\frac{15}{16} \cdot 2$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot \frac{15}{16})$

Paso 11.3.2

Cancela el factor común.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot \frac{15}{16})$

Paso 11.3.3

Reescribe la expresión.

$S_{4} = \frac{15}{16}$