Precálculo Ejemplos

$\frac{3}{5} \cdot \log_{a} (x^{15} y^{10}) + 12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}}) - 13 \log_{a} (y)$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica $\frac{3}{5} \log_{a} (x^{15} y^{10})$ al mover $\frac{3}{5}$ dentro del algoritmo.

$\log_{a} ({(x^{15} y^{10})}^{\frac{3}{5}}) + 12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}}) - 13 \log_{a} (y)$

Paso 1.2

Aplica la regla del producto a $x^{15} y^{10}$ .

$\log_{a} ({(x^{15})}^{\frac{3}{5}} {(y^{10})}^{\frac{3}{5}}) + 12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}}) - 13 \log_{a} (y)$

Paso 1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{15})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Paso 1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{a} (x^{15 (\frac{3}{5})} {(y^{10})}^{\frac{3}{5}}) + 12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}}) - 13 \log_{a} (y)$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $5$ de $15$ .

$\log_{a} (x^{5 (3) \frac{3}{5}} {(y^{10})}^{\frac{3}{5}}) + 12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}}) - 13 \log_{a} (y)$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\log_{a} (x^{5 \cdot 3 \frac{3}{5}} {(y^{10})}^{\frac{3}{5}}) + 12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}}) - 13 \log_{a} (y)$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\log_{a} (x^{3 \cdot 3} {(y^{10})}^{\frac{3}{5}}) + 12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}}) - 13 \log_{a} (y)$

Paso 1.3.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$\log_{a} (x^{9} {(y^{10})}^{\frac{3}{5}}) + 12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}}) - 13 \log_{a} (y)$

Paso 1.4

Multiplica los exponentes en ${(y^{10})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Paso 1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{a} (x^{9} y^{10 (\frac{3}{5})}) + 12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}}) - 13 \log_{a} (y)$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$\log_{a} (x^{9} y^{5 (2) \frac{3}{5}}) + 12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}}) - 13 \log_{a} (y)$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\log_{a} (x^{9} y^{5 \cdot 2 \frac{3}{5}}) + 12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}}) - 13 \log_{a} (y)$

Paso 1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\log_{a} (x^{9} y^{2 \cdot 3}) + 12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}}) - 13 \log_{a} (y)$

Paso 1.4.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\log_{a} (x^{9} y^{6}) + 12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}}) - 13 \log_{a} (y)$

Paso 1.5

Simplifica $12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}})$ al mover $12$ dentro del algoritmo.

$\log_{a} (x^{9} y^{6}) + \log_{a} ({(x^{\frac{3}{4}})}^{12}) - 13 \log_{a} (y)$

Paso 1.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{4}})}^{12}$ .

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Paso 1.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{a} (x^{9} y^{6}) + \log_{a} (x^{\frac{3}{4} \cdot 12}) - 13 \log_{a} (y)$

Paso 1.6.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.6.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\log_{a} (x^{9} y^{6}) + \log_{a} (x^{\frac{3}{4} \cdot (4 (3))}) - 13 \log_{a} (y)$

Paso 1.6.2.2

Cancela el factor común.

$\log_{a} (x^{9} y^{6}) + \log_{a} (x^{\frac{3}{4} \cdot (4 \cdot 3)}) - 13 \log_{a} (y)$

Paso 1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\log_{a} (x^{9} y^{6}) + \log_{a} (x^{3 \cdot 3}) - 13 \log_{a} (y)$

Paso 1.6.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$\log_{a} (x^{9} y^{6}) + \log_{a} (x^{9}) - 13 \log_{a} (y)$

Paso 1.7

Simplifica $- 13 \log_{a} (y)$ al mover $13$ dentro del algoritmo.

$\log_{a} (x^{9} y^{6}) + \log_{a} (x^{9}) - \log_{a} (y^{13})$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{a} (x^{9} y^{6} x^{9}) - \log_{a} (y^{13})$

Paso 3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{a} (\frac{x^{9} y^{6} x^{9}}{y^{13}})$

Paso 4

Multiplica $x^{9}$ por $x^{9}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $x^{9}$ .

$\log_{a} (\frac{x^{9} x^{9} y^{6}}{y^{13}})$

Paso 4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log_{a} (\frac{x^{9 + 9} y^{6}}{y^{13}})$

Paso 4.3

Suma $9$ y $9$ .

$\log_{a} (\frac{x^{18} y^{6}}{y^{13}})$

Paso 5

Cancela el factor común de $y^{6}$ y $y^{13}$ .

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Paso 5.1

Factoriza $y^{6}$ de $x^{18} y^{6}$ .

$\log_{a} (\frac{y^{6} x^{18}}{y^{13}})$

Paso 5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.1

Factoriza $y^{6}$ de $y^{13}$ .

$\log_{a} (\frac{y^{6} x^{18}}{y^{6} y^{7}})$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común.

$\log_{a} (\frac{y^{6} x^{18}}{y^{6} y^{7}})$

Paso 5.2.3

Reescribe la expresión.

$\log_{a} (\frac{x^{18}}{y^{7}})$