Precálculo Ejemplos

$\frac{3}{2} \cdot \log_{2} (x + y) + \log (x - y) - \log_{2} (x^{2} - y^{2})$

Paso 1

Simplifica $\frac{3}{2} \log_{2} (x + y)$ al mover $\frac{3}{2}$ dentro del algoritmo.

$\log_{2} ({(x + y)}^{\frac{3}{2}}) + \log (x - y) - \log_{2} (x^{2} - y^{2})$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{{(x + y)}^{\frac{3}{2}}}{x^{2} - y^{2}}) + \log (x - y)$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = y$ .

$\log_{2} (\frac{{(x + y)}^{\frac{3}{2}}}{(x + y) (x - y)}) + \log (x - y)$

Paso 3.2

Mueve ${(x + y)}^{1}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\log_{2} (\frac{{(x + y)}^{\frac{3}{2}} {(x + y)}^{- 1}}{x - y}) + \log (x - y)$

Paso 3.3

Multiplica ${(x + y)}^{\frac{3}{2}}$ por ${(x + y)}^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log_{2} (\frac{{(x + y)}^{\frac{3}{2} - 1}}{x - y}) + \log (x - y)$

Paso 3.3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\log_{2} (\frac{{(x + y)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{x - y}) + \log (x - y)$

Paso 3.3.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\log_{2} (\frac{{(x + y)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{x - y}) + \log (x - y)$

Paso 3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\log_{2} (\frac{{(x + y)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}{x - y}) + \log (x - y)$

Paso 3.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\log_{2} (\frac{{(x + y)}^{\frac{3 - 2}{2}}}{x - y}) + \log (x - y)$

Paso 3.3.5.2

Resta $2$ de $3$ .

$\log_{2} (\frac{{(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{x - y}) + \log (x - y)$