Precálculo Ejemplos

$\frac{1}{2 \ln (2)} - \frac{1}{3 \ln (3)} + \frac{1}{4 \ln (4)} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica $2 \ln (2)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{1}{\ln (2^{2})} - \frac{1}{3 \ln (3)} + \frac{1}{4 \ln (4)} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

Paso 1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{3 \ln (3)} + \frac{1}{4 \ln (4)} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

Paso 1.3

Simplifica $3 \ln (3)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{\ln (3^{3})} + \frac{1}{4 \ln (4)} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

Paso 1.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{\ln (27)} + \frac{1}{4 \ln (4)} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

Paso 1.5

Simplifica $4 \ln (4)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{\ln (27)} + \frac{1}{\ln (4^{4})} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

Paso 1.6

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{\ln (27)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

Paso 1.7

Simplifica $5 \ln (5)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{\ln (27)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (5^{5})}$

Paso 1.8

Eleva $5$ a la potencia de $5$ .

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{\ln (27)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{1}{\ln (4)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\ln (27)}{\ln (27)}$ .

$\frac{1}{\ln (4)} \cdot \frac{\ln (27)}{\ln (27)} - \frac{1}{\ln (27)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{1}{\ln (27)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\ln (4)}{\ln (4)}$ .

$\frac{1}{\ln (4)} \cdot \frac{\ln (27)}{\ln (27)} - \frac{1}{\ln (27)} \cdot \frac{\ln (4)}{\ln (4)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $\ln (4) \ln (27)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{\ln (4)}$ por $\frac{\ln (27)}{\ln (27)}$ .

$\frac{\ln (27)}{\ln (4) \ln (27)} - \frac{1}{\ln (27)} \cdot \frac{\ln (4)}{\ln (4)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{\ln (27)}$ por $\frac{\ln (4)}{\ln (4)}$ .

$\frac{\ln (27)}{\ln (4) \ln (27)} - \frac{\ln (4)}{\ln (27) \ln (4)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $\ln (4) \ln (27)$ .

$\frac{\ln (27)}{\ln (27) \ln (4)} - \frac{\ln (4)}{\ln (27) \ln (4)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (27) - \ln (4)}{\ln (27) \ln (4)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Paso 6

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{27}{4})}{\ln (27) \ln (4)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Paso 7

Para escribir $\frac{\ln (\frac{27}{4})}{\ln (27) \ln (4)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\ln (256)}{\ln (256)}$ .

$\frac{\ln (\frac{27}{4})}{\ln (27) \ln (4)} \cdot \frac{\ln (256)}{\ln (256)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Paso 8

Para escribir $\frac{1}{\ln (256)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (27) \ln (4)}$ .

$\frac{\ln (\frac{27}{4})}{\ln (27) \ln (4)} \cdot \frac{\ln (256)}{\ln (256)} + \frac{1}{\ln (256)} \cdot \frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (27) \ln (4)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Paso 9

Escribe cada expresión con un denominador común de $\ln (27) \ln (4) \ln (256)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{\ln (\frac{27}{4})}{\ln (27) \ln (4)}$ por $\frac{\ln (256)}{\ln (256)}$ .

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256)}{\ln (27) \ln (4) \ln (256)} + \frac{1}{\ln (256)} \cdot \frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (27) \ln (4)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Paso 9.2

Multiplica $\frac{1}{\ln (256)}$ por $\frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (27) \ln (4)}$ .

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256)}{\ln (27) \ln (4) \ln (256)} + \frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (256) (\ln (27) \ln (4))} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Paso 9.3

Reordena los factores de $\ln (27) \ln (4) \ln (256)$ .

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)} + \frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (256) (\ln (27) \ln (4))} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Paso 9.4

Reordena los factores de $\ln (256) (\ln (27) \ln (4))$ .

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)} + \frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Paso 10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Paso 11

Para escribir $\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\ln (3125)}{\ln (3125)}$ .

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)} \cdot \frac{\ln (3125)}{\ln (3125)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Paso 12

Para escribir $- \frac{1}{\ln (3125)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}$ .

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)} \cdot \frac{\ln (3125)}{\ln (3125)} - \frac{1}{\ln (3125)} \cdot \frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}$

Paso 13

Escribe cada expresión con un denominador común de $\ln (256) \ln (27) \ln (4) \ln (3125)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 13.1

Multiplica $\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}$ por $\frac{\ln (3125)}{\ln (3125)}$ .

$\frac{(\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)) \ln (3125)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4) \ln (3125)} - \frac{1}{\ln (3125)} \cdot \frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}$

Paso 13.2

Multiplica $\frac{1}{\ln (3125)}$ por $\frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}$ .

$\frac{(\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)) \ln (3125)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4) \ln (3125)} - \frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (3125) (\ln (256) \ln (27) \ln (4))}$

Paso 13.3

Reordena los factores de $\ln (256) \ln (27) \ln (4) \ln (3125)$ .

$\frac{(\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)) \ln (3125)}{\ln (256) \ln (27) \ln (3125) \ln (4)} - \frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (3125) (\ln (256) \ln (27) \ln (4))}$

Paso 13.4

Reordena los factores de $\ln (3125) (\ln (256) \ln (27) \ln (4))$ .

$\frac{(\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)) \ln (3125)}{\ln (256) \ln (27) \ln (3125) \ln (4)} - \frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (3125) \ln (4)}$

Paso 14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)) \ln (3125) - \ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (3125) \ln (4)}$

Paso 15

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) \ln (3125) + \ln (27) \ln (4) \ln (3125) - \ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (3125) \ln (4)}$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) \ln (3125) + \ln (27) \ln (4) \ln (3125) - \ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (3125) \ln (4)}$

Forma decimal:

$0.47400433 \dots$