Precálculo Ejemplos

$\frac{1}{2} \cdot \log_{y} (p^{3} q^{4}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{y} (p^{4} q^{3})$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica $\frac{1}{2} \log_{y} (p^{3} q^{4})$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$\log_{y} ({(p^{3} q^{4})}^{\frac{1}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{y} (p^{4} q^{3})$

Paso 1.2

Aplica la regla del producto a $p^{3} q^{4}$ .

$\log_{y} ({(p^{3})}^{\frac{1}{2}} {(q^{4})}^{\frac{1}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{y} (p^{4} q^{3})$

Paso 1.3

Multiplica los exponentes en ${(p^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{y} (p^{3 (\frac{1}{2})} {(q^{4})}^{\frac{1}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{y} (p^{4} q^{3})$

Paso 1.3.2

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} {(q^{4})}^{\frac{1}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{y} (p^{4} q^{3})$

Paso 1.4

Multiplica los exponentes en ${(q^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{4 (\frac{1}{2})}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{y} (p^{4} q^{3})$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2 (2) \frac{1}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{y} (p^{4} q^{3})$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{y} (p^{4} q^{3})$

Paso 1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{y} (p^{4} q^{3})$

Paso 1.5

Multiplica $- \frac{2}{3} \log_{y} (p^{4} q^{3})$ .

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Paso 1.5.1

Reordena $\log_{y} (p^{4} q^{3})$ y $\frac{2}{3}$ .

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - (\frac{2}{3} \log_{y} (p^{4} q^{3}))$

Paso 1.5.2

Simplifica $\frac{2}{3} \log_{y} (p^{4} q^{3})$ al mover $\frac{2}{3}$ dentro del algoritmo.

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - \log_{y} ({(p^{4} q^{3})}^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.6

Aplica la regla del producto a $p^{4} q^{3}$ .

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - \log_{y} ({(p^{4})}^{\frac{2}{3}} {(q^{3})}^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.7

Multiplica los exponentes en ${(p^{4})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 1.7.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - \log_{y} (p^{4 (\frac{2}{3})} {(q^{3})}^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.7.2

Multiplica $4 (\frac{2}{3})$ .

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Paso 1.7.2.1

Combina $4$ y $\frac{2}{3}$ .

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - \log_{y} (p^{\frac{4 \cdot 2}{3}} {(q^{3})}^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.7.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - \log_{y} (p^{\frac{8}{3}} {(q^{3})}^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.8

Multiplica los exponentes en ${(q^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 1.8.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - \log_{y} (p^{\frac{8}{3}} q^{3 (\frac{2}{3})})$

Paso 1.8.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.8.2.1

Cancela el factor común.

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - \log_{y} (p^{\frac{8}{3}} q^{3 (\frac{2}{3})})$

Paso 1.8.2.2

Reescribe la expresión.

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - \log_{y} (p^{\frac{8}{3}} q^{2})$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{y} (\frac{p^{\frac{3}{2}} q^{2}}{p^{\frac{8}{3}} q^{2}})$

Paso 3

Mueve $p^{\frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{\frac{8}{3}} q^{2} p^{- \frac{3}{2}}})$

Paso 4

Multiplica $p^{\frac{8}{3}}$ por $p^{- \frac{3}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $p^{- \frac{3}{2}}$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{- \frac{3}{2}} p^{\frac{8}{3}} q^{2}})$

Paso 4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{- \frac{3}{2} + \frac{8}{3}} q^{2}})$

Paso 4.3

Para escribir $- \frac{3}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{- \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3}} q^{2}})$

Paso 4.4

Para escribir $\frac{8}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{- \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{2}} q^{2}})$

Paso 4.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.5.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{- \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{2}} q^{2}})$

Paso 4.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{- \frac{3 \cdot 3}{6} + \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{2}} q^{2}})$

Paso 4.5.3

Multiplica $\frac{8}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{- \frac{3 \cdot 3}{6} + \frac{8 \cdot 2}{3 \cdot 2}} q^{2}})$

Paso 4.5.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{- \frac{3 \cdot 3}{6} + \frac{8 \cdot 2}{6}} q^{2}})$

Paso 4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{\frac{- 3 \cdot 3 + 8 \cdot 2}{6}} q^{2}})$

Paso 4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.7.1

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{\frac{- 9 + 8 \cdot 2}{6}} q^{2}})$

Paso 4.7.2

Multiplica $8$ por $2$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{\frac{- 9 + 16}{6}} q^{2}})$

Paso 4.7.3

Suma $- 9$ y $16$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{\frac{7}{6}} q^{2}})$

Paso 5

Cancela el factor común.

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{\frac{7}{6}} q^{2}})$

Paso 6

Reescribe la expresión.

$\log_{y} (\frac{1}{p^{\frac{7}{6}}})$