Precálculo Ejemplos

${(1 + 3 \log_{2} (\sqrt[4]{2}))}^{2}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica $3 \log_{2} (\sqrt[4]{2})$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

${(1 + \log_{2} ({\sqrt[4]{2}}^{3}))}^{2}$

Paso 1.2

Reescribe ${\sqrt[4]{2}}^{3}$ como $\sqrt[4]{2^{3}}$ .

${(1 + \log_{2} (\sqrt[4]{2^{3}}))}^{2}$

Paso 1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

${(1 + \log_{2} (\sqrt[4]{8}))}^{2}$

Paso 2

Reescribe $\log_{2} (\sqrt[4]{8})$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 2.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

${(1 + \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)})}^{2}$

Paso 2.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

${(1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})}^{2}$

Paso 3

Reescribe ${(1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})}^{2}$ como $(1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}) (1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})$ .

$(1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}) (1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})$

Paso 4

Expande $(1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}) (1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}) + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} (1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} (1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot 1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$

Paso 5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 + 1 \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot 1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$

Paso 5.1.2

Multiplica $\frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$ por $1$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot 1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$

Paso 5.1.3

Multiplica $\frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$ por $1$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$

Paso 5.1.4

Multiplica $\frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$ .

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Paso 5.1.4.1

Multiplica $\frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$ por $\frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8}) \log (\sqrt[4]{8})}{\log (2) \log (2)}$

Paso 5.1.4.2

Eleva $\log (\sqrt[4]{8})$ a la potencia de $1$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{1} (\sqrt[4]{8}) \log (\sqrt[4]{8})}{\log (2) \log (2)}$

Paso 5.1.4.3

Eleva $\log (\sqrt[4]{8})$ a la potencia de $1$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{1} (\sqrt[4]{8}) \log^{1} (\sqrt[4]{8})}{\log (2) \log (2)}$

Paso 5.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{{\log (\sqrt[4]{8})}^{1 + 1}}{\log (2) \log (2)}$

Paso 5.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log (2) \log (2)}$

Paso 5.1.4.6

Eleva $\log (2)$ a la potencia de $1$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{1} (2) \log (2)}$

Paso 5.1.4.7

Eleva $\log (2)$ a la potencia de $1$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{1} (2) \log^{1} (2)}$

Paso 5.1.4.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{{\log (2)}^{1 + 1}}$

Paso 5.1.4.9

Suma $1$ y $1$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Paso 5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8}) + \log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Paso 6

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8} \sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8 \cdot 8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Paso 7.2

Multiplica $8$ por $8$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{64})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Paso 7.3

Reescribe $64$ como $2^{4} \cdot 4$ .

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Paso 7.3.1

Factoriza $16$ de $64$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{16 (4)})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Paso 7.3.2

Reescribe $16$ como $2^{4}$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{2^{4} \cdot 4})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Paso 7.4

Retira los términos de abajo del radical.

$1 + \frac{\log (2 \sqrt[4]{4})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Paso 7.5

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$1 + \frac{\log (2 \sqrt[4]{2^{2}})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Paso 7.6

Reescribe $\sqrt[4]{2^{2}}$ como $\sqrt{\sqrt{2^{2}}}$ .

$1 + \frac{\log (2 \sqrt{\sqrt{2^{2}}})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Paso 7.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$1 + \frac{\log (2 \sqrt{2})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$1 + \frac{\log (2 \sqrt{2})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Forma decimal:

$3.0625$