Precálculo Ejemplos

$\frac{\log_{9} (25)}{\log_{9} (6)}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $\log_{9} (25)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 1.1.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\frac{\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}}{\log_{9} (6)}$

Paso 1.1.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (25)}{\log (9)}}{\log_{9} (6)}$

Paso 1.2

Reescribe $\log (25)$ como $\log (5^{2})$ .

$\frac{\frac{\log (5^{2})}{\log (9)}}{\log_{9} (6)}$

Paso 1.3

Expande $\log (5^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\frac{\frac{2 \log (5)}{\log (9)}}{\log_{9} (6)}$

Paso 1.4

Reescribe $\log (9)$ como $\log (3^{2})$ .

$\frac{\frac{2 \log (5)}{\log (3^{2})}}{\log_{9} (6)}$

Paso 1.5

Expande $\log (3^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\frac{\frac{2 \log (5)}{2 \log (3)}}{\log_{9} (6)}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{2 \log (5)}{2 \log (3)}}{\log_{9} (6)}$

Paso 1.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{\log (5)}{\log (3)}}{\log_{9} (6)}$

Paso 2

Reescribe $\log_{9} (6)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 2.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\frac{\frac{\log (5)}{\log (3)}}{\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}}$

Paso 2.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (5)}{\log (3)}}{\frac{\log (6)}{\log (9)}}$

Paso 3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\log (5)}{\log (3)} \cdot \frac{\log (9)}{\log (6)}$

Paso 4

Multiplica $\frac{\log (5)}{\log (3)}$ por $\frac{\log (9)}{\log (6)}$ .

$\frac{\log (5) \log (9)}{\log (3) \log (6)}$

Paso 5

Reescribe $\log (9)$ como $\log (3^{2})$ .

$\frac{\log (5) \log (3^{2})}{\log (3) \log (6)}$

Paso 6

Expande $\log (3^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\frac{\log (5) (2 \log (3))}{\log (3) \log (6)}$

Paso 7

Reescribe $\log (6)$ como $\log (2 (3))$ .

$\frac{\log (5) (2 \log (3))}{\log (3) \log (2 (3))}$

Paso 8

Reescribe $\log (2 (3))$ como $\log (2) + \log (3)$ .

$\frac{\log (5) (2 \log (3))}{\log (3) (\log (2) + \log (3))}$

Paso 9

Cancela el factor común de $\log (3)$ .

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Paso 9.1

Cancela el factor común.

$\frac{\log (5) (2 \log (3))}{\log (3) (\log (2) + \log (3))}$

Paso 9.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\log (5) \cdot (2)}{\log (2) + \log (3)}$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Reordena $\log (5)$ y $2$ .

$\frac{2 \cdot \log (5)}{\log (2) + \log (3)}$

Paso 10.2

Simplifica $2 \cdot \log (5)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{\log (5^{2})}{\log (2) + \log (3)}$

Paso 11

Simplifica el denominador.

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Paso 11.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (5^{2})}{\log (2 \cdot 3)}$

Paso 11.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\log (5^{2})}{\log (6)}$

Paso 12

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\log (25)}{\log (6)}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\log (25)}{\log (6)}$

Forma decimal:

$1.79648880 \dots$