Precálculo Ejemplos

$\log_{9} (3 \sqrt{11 \cdot 8 \cdot 5})$

Paso 1

Reescribe $\log_{9} (3 \sqrt{11 \cdot 8 \cdot 5})$ como $\log_{9} (3) + \log_{9} (\sqrt{11 \cdot 8 \cdot 5})$ .

$\log_{9} (3) + \log_{9} (\sqrt{11 \cdot 8 \cdot 5})$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{11 \cdot 8 \cdot 5}$ como ${(11 \cdot 8 \cdot 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{9} (3) + \log_{9} ({(11 \cdot 8 \cdot 5)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

Expande $\log_{9} ({(11 \cdot 8 \cdot 5)}^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$\log_{9} (3) + \frac{1}{2} \log_{9} (11 \cdot 8 \cdot 5)$

Paso 4

El logaritmo en base $9$ de $3$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log_{9} (11 \cdot 8 \cdot 5)$

Paso 5

Multiplica $11$ por $8$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log_{9} (88 \cdot 5)$

Paso 6

Multiplica $88$ por $5$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log_{9} (440)$

Paso 7

Reescribe $\log_{9} (440)$ como $\log_{9} (2^{3} \cdot 5 \cdot 11)$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log_{9} (2^{3} \cdot 5 \cdot 11)$

Paso 8

Reescribe $\log_{9} (2^{3} \cdot 5 \cdot 11)$ como $\log_{9} (2^{3} \cdot 5) + \log_{9} (11)$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\log_{9} (2^{3} \cdot 5) + \log_{9} (11))$

Paso 9

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\log_{9} (8 \cdot 5) + \log_{9} (11))$

Paso 10

Multiplica $8$ por $5$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\log_{9} (40) + \log_{9} (11))$

Paso 11

Simplifica cada término.

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Paso 11.1

Reescribe $\log_{9} (40)$ como $\log_{9} (2^{3} \cdot 5)$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\log_{9} (2^{3} \cdot 5) + \log_{9} (11))$

Paso 11.2

Reescribe $\log_{9} (2^{3} \cdot 5)$ como $\log_{9} (2^{3}) + \log_{9} (5)$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\log_{9} (2^{3}) + \log_{9} (5) + \log_{9} (11))$

Paso 11.3

Expande $\log_{9} (2^{3})$ ; para ello, mueve $3$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (3 \log_{9} (2) + \log_{9} (5) + \log_{9} (11))$

Paso 12

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (3 \log_{9} (2)) + \frac{1}{2} \log_{9} (5) + \frac{1}{2} \log_{9} (11)$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Multiplica $\frac{1}{2} (3 \log_{9} (2))$ .

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Paso 13.1.1

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} \log_{9} (2) + \frac{1}{2} \log_{9} (5) + \frac{1}{2} \log_{9} (11)$

Paso 13.1.2

Combina $\frac{3}{2}$ y $\log_{9} (2)$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3 \log_{9} (2)}{2} + \frac{1}{2} \log_{9} (5) + \frac{1}{2} \log_{9} (11)$

Paso 13.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\log_{9} (5)$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3 \log_{9} (2)}{2} + \frac{\log_{9} (5)}{2} + \frac{1}{2} \log_{9} (11)$

Paso 13.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $\log_{9} (11)$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3 \log_{9} (2)}{2} + \frac{\log_{9} (5)}{2} + \frac{\log_{9} (11)}{2}$