Precálculo Ejemplos

$\frac{1}{5} \cdot (5 \ln (x + 9) - \ln (x) - \ln (x^{2} - 9))$

Paso 1

Simplifica $5 \ln (x + 9)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$\frac{1}{5} \cdot (\ln ({(x + 9)}^{5}) - \ln (x) - \ln (x^{2} - 9))$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{5} \cdot (\ln (\frac{{(x + 9)}^{5}}{x}) - \ln (x^{2} - 9))$

Paso 3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{\frac{{(x + 9)}^{5}}{x}}{x^{2} - 9})$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{{(x + 9)}^{5}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2} - 9})$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{{(x + 9)}^{5}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2} - 3^{2}})$

Paso 5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{{(x + 9)}^{5}}{x} \cdot \frac{1}{(x + 3) (x - 3)})$

Paso 6

Combina fracciones.

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Paso 6.1

Combinar.

$\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{{(x + 9)}^{5} \cdot 1}{x ((x + 3) (x - 3))})$

Paso 6.2

Multiplica ${(x + 9)}^{5}$ por $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{{(x + 9)}^{5}}{x ((x + 3) (x - 3))})$

Paso 7

Simplifica $\frac{1}{5} \ln (\frac{{(x + 9)}^{5}}{x (x + 3) (x - 3)})$ al mover $\frac{1}{5}$ dentro del algoritmo.

$\ln ({(\frac{{(x + 9)}^{5}}{x (x + 3) (x - 3)})}^{\frac{1}{5}})$

Paso 8

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 8.1

Aplica la regla del producto a $\frac{{(x + 9)}^{5}}{x (x + 3) (x - 3)}$ .

$\ln (\frac{{({(x + 9)}^{5})}^{\frac{1}{5}}}{{(x (x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{5}}})$

Paso 8.2

Aplica la regla del producto a $x (x + 3) (x - 3)$ .

$\ln (\frac{{({(x + 9)}^{5})}^{\frac{1}{5}}}{{(x (x + 3))}^{\frac{1}{5}} {(x - 3)}^{\frac{1}{5}}})$

Paso 8.3

Aplica la regla del producto a $x (x + 3)$ .

$\ln (\frac{{({(x + 9)}^{5})}^{\frac{1}{5}}}{x^{\frac{1}{5}} {(x + 3)}^{\frac{1}{5}} {(x - 3)}^{\frac{1}{5}}})$

Paso 9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 9)}^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Paso 9.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(x + 9)}^{5 (\frac{1}{5})}}{x^{\frac{1}{5}} {(x + 3)}^{\frac{1}{5}} {(x - 3)}^{\frac{1}{5}}})$

Paso 9.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 9.1.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{{(x + 9)}^{5 (\frac{1}{5})}}{x^{\frac{1}{5}} {(x + 3)}^{\frac{1}{5}} {(x - 3)}^{\frac{1}{5}}})$

Paso 9.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{{(x + 9)}^{1}}{x^{\frac{1}{5}} {(x + 3)}^{\frac{1}{5}} {(x - 3)}^{\frac{1}{5}}})$

Paso 9.2

Simplifica.

$\ln (\frac{x + 9}{x^{\frac{1}{5}} {(x + 3)}^{\frac{1}{5}} {(x - 3)}^{\frac{1}{5}}})$