Precálculo Ejemplos

$lim_{n \to 8} \frac{n!}{n^{n}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} n^{n}}$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reescribe $n^{n}$ como $e^{\ln (n^{n})}$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} e^{\ln (n^{n})}}$

Paso 2.2

Expande $\ln (n^{n})$ ; para ello, mueve $n$ fuera del logaritmo.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} e^{n \ln (n)}}$

Paso 3

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \ln (n)}}$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}}$

Paso 3.3

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $n$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Evalúa el límite de $n!$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$\frac{8!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Paso 4.2

Expande $8!$ a $8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

$\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Paso 4.3

Multiplica $8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Multiplica $8$ por $7$ .

$\frac{56 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Paso 4.3.2

Multiplica $56$ por $6$ .

$\frac{336 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Paso 4.3.3

Multiplica $336$ por $5$ .

$\frac{1680 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Paso 4.3.4

Multiplica $1680$ por $4$ .

$\frac{6720 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Paso 4.3.5

Multiplica $6720$ por $3$ .

$\frac{20160 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Paso 4.3.6

Multiplica $20160$ por $2$ .

$\frac{40320 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Paso 4.3.7

Multiplica $40320$ por $1$ .

$\frac{40320}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Paso 4.4

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$\frac{40320}{e^{8 \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Paso 4.5

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$\frac{40320}{e^{8 \cdot \ln (8)}}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Simplifica $8 \cdot \ln (8)$ al mover $8$ dentro del algoritmo.

$\frac{40320}{e^{\ln (8^{8})}}$

Paso 5.1.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\frac{40320}{8^{8}}$

Paso 5.1.3

Eleva $8$ a la potencia de $8$ .

$\frac{40320}{16777216}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $40320$ y $16777216$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Factoriza $128$ de $40320$ .

$\frac{128 (315)}{16777216}$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Factoriza $128$ de $16777216$ .

$\frac{128 \cdot 315}{128 \cdot 131072}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{128 \cdot 315}{128 \cdot 131072}$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{315}{131072}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{315}{131072}$

Forma decimal:

$0.00240325 \dots$