Precálculo Ejemplos

$\sqrt{{(1 - t^{2})}^{2} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 1

Reescribe ${(1 - t^{2})}^{2}$ como $(1 - t^{2}) (1 - t^{2})$ .

$\sqrt{(1 - t^{2}) (1 - t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 2

Expande $(1 - t^{2}) (1 - t^{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{1 (1 - t^{2}) - t^{2} (1 - t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- t^{2}) - t^{2} (1 - t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\sqrt{1 + 1 (- t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 3.1.2

Multiplica $- t^{2}$ por $1$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 t^{2} t^{2} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 3.1.5

Multiplica $t^{2}$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.5.1

Mueve $t^{2}$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 (t^{2} t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 3.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 t^{2 + 2} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 3.1.5.3

Suma $2$ y $2$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} + 1 t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 3.1.7

Multiplica $t^{4}$ por $1$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} + t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 3.2

Resta $t^{2}$ de $- t^{2}$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $2 t$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 2^{2} t^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Paso 4.3

Reescribe ${(1 + t^{2})}^{2}$ como $(1 + t^{2}) (1 + t^{2})$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + (1 + t^{2}) (1 + t^{2})}$

Paso 5

Expande $(1 + t^{2}) (1 + t^{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 (1 + t^{2}) + t^{2} (1 + t^{2})}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 \cdot 1 + 1 t^{2} + t^{2} (1 + t^{2})}$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 \cdot 1 + 1 t^{2} + t^{2} \cdot 1 + t^{2} t^{2}}$

Paso 6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + 1 t^{2} + t^{2} \cdot 1 + t^{2} t^{2}}$

Paso 6.1.2

Multiplica $t^{2}$ por $1$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} \cdot 1 + t^{2} t^{2}}$

Paso 6.1.3

Multiplica $t^{2}$ por $1$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} + t^{2} t^{2}}$

Paso 6.1.4

Multiplica $t^{2}$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.4.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} + t^{2 + 2}}$

Paso 6.1.4.2

Suma $2$ y $2$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} + t^{4}}$

Paso 6.2

Suma $t^{2}$ y $t^{2}$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + 2 t^{2} + t^{4}}$

Paso 7

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{- 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 2 + 2 t^{2} + t^{4}}$

Paso 8

Suma $- 2 t^{2}$ y $4 t^{2}$ .

$\sqrt{t^{4} + 2 t^{2} + 2 + 2 t^{2} + t^{4}}$

Paso 9

Suma $t^{4}$ y $t^{4}$ .

$\sqrt{2 t^{4} + 2 t^{2} + 2 + 2 t^{2}}$

Paso 10

Suma $2 t^{2}$ y $2 t^{2}$ .

$\sqrt{2 t^{4} + 4 t^{2} + 2}$

Paso 11

Reescribe $2 t^{4} + 4 t^{2} + 2$ en forma factorizada.

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Paso 11.1

Factoriza $2$ de $2 t^{4} + 4 t^{2} + 2$ .

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Paso 11.1.1

Factoriza $2$ de $2 t^{4}$ .

$\sqrt{2 (t^{4}) + 4 t^{2} + 2}$

Paso 11.1.2

Factoriza $2$ de $4 t^{2}$ .

$\sqrt{2 (t^{4}) + 2 (2 t^{2}) + 2}$

Paso 11.1.3

Factoriza $2$ de $2$ .

$\sqrt{2 (t^{4}) + 2 (2 t^{2}) + 2 (1)}$

Paso 11.1.4

Factoriza $2$ de $2 (t^{4}) + 2 (2 t^{2})$ .

$\sqrt{2 (t^{4} + 2 t^{2}) + 2 (1)}$

Paso 11.1.5

Factoriza $2$ de $2 (t^{4} + 2 t^{2}) + 2 (1)$ .

$\sqrt{2 (t^{4} + 2 t^{2} + 1)}$

Paso 11.2

Reescribe $t^{4}$ como ${(t^{2})}^{2}$ .

$\sqrt{2 ({(t^{2})}^{2} + 2 t^{2} + 1)}$

Paso 11.3

Sea $u = t^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $t^{2}$ .

$\sqrt{2 (u^{2} + 2 u + 1)}$

Paso 11.4

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 11.4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{2 (u^{2} + 2 u + 1^{2})}$

Paso 11.4.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Paso 11.4.3

Reescribe el polinomio.

$\sqrt{2 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2})}$

Paso 11.4.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 1$ .

$\sqrt{2 {(u + 1)}^{2}}$

Paso 11.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t^{2}$ .

$\sqrt{2 {(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 12

Reescribe $2 {(t^{2} + 1)}^{2}$ como ${(t^{2} + 1^{2})}^{2} \cdot 2$ .

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Paso 12.1

Reordena $2$ y ${(t^{2} + 1)}^{2}$ .

$\sqrt{{(t^{2} + 1)}^{2} \cdot 2}$

Paso 12.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{{(t^{2} + 1^{2})}^{2} \cdot 2}$

Paso 13

Retira los términos de abajo del radical.

$(t^{2} + 1^{2}) \sqrt{2}$

Paso 14

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(t^{2} + 1) \sqrt{2}$