Precálculo Ejemplos

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}}$

Paso 1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el tercer cuadrante.

$- \sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (225)}}$

Paso 2

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

Paso 3

Multiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

Paso 4

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}}$

Paso 5

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Paso 6

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2}{2} \cdot \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Paso 6.2

Combinar.

$- \sqrt{\frac{2 (1 + \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 (1 - \frac{\sqrt{2}}{2})}}$

Paso 7

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + 2 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}}$

Paso 8

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 8.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.1.1

Cancela el factor común.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + 2 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}}$

Paso 8.1.2

Reescribe la expresión.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}}$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ al numerador.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 8.2.2

Cancela el factor común.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 8.2.3

Reescribe la expresión.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 - \sqrt{2}}}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 - \sqrt{2}}}$

Paso 9.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}}$

Paso 10

Multiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ por $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}}$

Paso 11

Combina fracciones.

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Paso 11.1

Multiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ por $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

Paso 11.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$- \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Paso 11.3

Simplifica.

$- \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Paso 12

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1

Eleva $2 + \sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- \sqrt{\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Paso 12.2

Eleva $2 + \sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- \sqrt{\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1} {(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2}}$

Paso 12.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \sqrt{\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1 + 1}}{2}}$

Paso 12.4

Suma $1$ y $1$ .

$- \sqrt{\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{2}}{2}}$

Paso 13

Reescribe ${(2 + \sqrt{2})}^{2}$ como $(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$ .

$- \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Paso 14

Expande $(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sqrt{\frac{2 (2 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Paso 14.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Paso 14.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Paso 15

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Paso 15.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{2}$ .

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Paso 15.1.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}$

Paso 15.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}$

Paso 15.1.5

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}$

Paso 15.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2}{2}}$

Paso 15.2

Suma $4$ y $2$ .

$- \sqrt{\frac{6 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2}}$

Paso 15.3

Suma $2 \sqrt{2}$ y $2 \sqrt{2}$ .

$- \sqrt{\frac{6 + 4 \sqrt{2}}{2}}$

Paso 16

Cancela el factor común de $6 + 4 \sqrt{2}$ y $2$ .

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Paso 16.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 4 \sqrt{2}}{2}}$

Paso 16.2

Factoriza $2$ de $4 \sqrt{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (2 \sqrt{2})}{2}}$

Paso 16.3

Factoriza $2$ de $2 (3) + 2 (2 \sqrt{2})$ .

$- \sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2}}$

Paso 16.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 16.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}$

Paso 16.4.2

Cancela el factor común.

$- \sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}$

Paso 16.4.3

Reescribe la expresión.

$- \sqrt{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{1}}$

Paso 16.4.4

Divide $3 + 2 \sqrt{2}$ por $1$ .

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Paso 17

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Forma decimal:

$- 2.41421356 \dots$