Precálculo Ejemplos

$\arcsin (\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}})$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$2 x = 0$

$1 - 2 x = 0$

Paso 2.2

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Paso 2.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - 1$

Paso 2.4

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 2.5

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = \frac{1}{2}$

Paso 2.6

Consolida las soluciones.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Paso 2.7

Obtén el dominio de $\frac{2 x}{1 - 2 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.1

Establece el denominador en $\frac{2 x}{1 - 2 x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$1 - 2 x = 0$

Paso 2.7.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - 1$

Paso 2.7.2.2

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.2.2.1

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 2.7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 2.7.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 2.7.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 2.7.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Paso 2.8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Paso 2.9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 2.9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (- 2)}{1 - 2 \cdot - 2} \geq 0$

Paso 2.9.1.3

$- 0.8$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.9.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.25$

Paso 2.9.2.2

Reemplaza $x$ con $0.25$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (0.25)}{1 - 2 \cdot 0.25} \geq 0$

Paso 2.9.2.3

$1$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 2.9.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (3)}{1 - 2 \cdot 3} \geq 0$

Paso 2.9.3.3

$- 1.2$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Verdadero

$x > \frac{1}{2}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Verdadero

$x > \frac{1}{2}$ Falso

Paso 2.10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 \leq x < \frac{1}{2}$

Paso 3

Establece el argumento en $\arcsin (\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}})$ mayor o igual que $- 1$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}} \geq - 1$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}}}^{2} \geq {(- 1)}^{2}$

Paso 4.2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}}$ como ${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 1)}^{2}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Simplifica ${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 1)}^{2}$

Paso 4.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 1)}^{2}$

Paso 4.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{1} \geq {(- 1)}^{2}$

Paso 4.2.2.1.2

Simplifica.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} \geq {(- 1)}^{2}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 x}{1 - 2 x} \geq 1$

Paso 4.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1 \geq 0$

Paso 4.3.2

Simplifica $\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1 \cdot \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} \geq 0$

Paso 4.3.2.2

Combina $- 1$ y $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$\frac{2 x}{1 - 2 x} + \frac{- (1 - 2 x)}{1 - 2 x} \geq 0$

Paso 4.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x - (1 - 2 x)}{1 - 2 x} \geq 0$

Paso 4.3.2.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{1 - 2 x} \geq 0$

Paso 4.3.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x - 1 - (- 2 x)}{1 - 2 x} \geq 0$

Paso 4.3.2.4.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 + 2 x}{1 - 2 x} \geq 0$

Paso 4.3.2.4.4

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\frac{4 x - 1}{1 - 2 x} \geq 0$

Paso 4.3.3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$4 x - 1 = 0$

$1 - 2 x = 0$

Paso 4.3.4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 1$

Paso 4.3.5

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.1

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 4.3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 4.3.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Paso 4.3.6

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - 1$

Paso 4.3.7

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.7.1

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 4.3.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.7.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 4.3.7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 4.3.7.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.7.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 4.3.8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = \frac{1}{4}$

$x = \frac{1}{2}$

Paso 4.3.9

Consolida las soluciones.

$x = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}$

Paso 4.4

Obtén el dominio de $\frac{\sqrt{2 x (1 - 2 x)} + 1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

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Paso 4.4.1

Establece el radicando en $\sqrt{2 x (1 - 2 x)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 x (1 - 2 x) \geq 0$

Paso 4.4.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$1 - 2 x = 0$

Paso 4.4.2.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 4.4.2.3

Establece $1 - 2 x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.3.1

Establece $1 - 2 x$ igual a $0$ .

$1 - 2 x = 0$

Paso 4.4.2.3.2

Resuelve $1 - 2 x = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - 1$

Paso 4.4.2.3.2.2

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.3.2.2.1

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 4.4.2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 4.4.2.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 4.4.2.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.3.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 4.4.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x (1 - 2 x) \geq 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Paso 4.4.2.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Paso 4.4.2.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 4.4.2.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$2 (- 2) (1 - 2 \cdot - 2) \geq 0$

Paso 4.4.2.6.1.3

$- 20$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 4.4.2.6.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.25$

Paso 4.4.2.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0.25$ en la desigualdad original.

$2 (0.25) (1 - 2 \cdot 0.25) \geq 0$

Paso 4.4.2.6.2.3

$0.25$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 4.4.2.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 4.4.2.6.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$2 (3) (1 - 2 \cdot 3) \geq 0$

Paso 4.4.2.6.3.3

$- 30$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 4.4.2.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Verdadero

$x > \frac{1}{2}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Verdadero

$x > \frac{1}{2}$ Falso

Paso 4.4.2.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$

Paso 4.4.3

Establece el denominador en $\frac{\sqrt{2 x (1 - 2 x)} + 1 - 2 x}{1 - 2 x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$1 - 2 x = 0$

Paso 4.4.4

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.4.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - 1$

Paso 4.4.4.2

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.4.2.1

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 4.4.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.4.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 4.4.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 4.4.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.4.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 4.4.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, \frac{1}{2})$

Paso 4.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Paso 4.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 4.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\sqrt{\frac{2 (- 2)}{1 - 2 \cdot - 2}} \geq - 1$

Paso 4.6.1.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 4.6.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{1}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{1}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.12$

Paso 4.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0.12$ en la desigualdad original.

$\sqrt{\frac{2 (0.12)}{1 - 2 \cdot 0.12}} \geq - 1$

Paso 4.6.2.3

$0.56195148$ del lado izquierdo es mayor que $- 1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 4.6.3

Prueba un valor en el intervalo $\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.38$

Paso 4.6.3.2

Reemplaza $x$ con $0.38$ en la desigualdad original.

$\sqrt{\frac{2 (0.38)}{1 - 2 \cdot 0.38}} \geq - 1$

Paso 4.6.3.3

$1.77951304$ del lado izquierdo es mayor que $- 1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 4.6.4

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 4.6.4.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$\sqrt{\frac{2 (3)}{1 - 2 \cdot 3}} \geq - 1$

Paso 4.6.4.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 4.6.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{4}$ Verdadero

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ Verdadero

$x > \frac{1}{2}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{4}$ Verdadero

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ Verdadero

$x > \frac{1}{2}$ Falso

Paso 4.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 \leq x \leq \frac{1}{4}$ o $\frac{1}{4} \leq x < \frac{1}{2}$

Paso 4.8

Combina los intervalos.

$0 \leq x < \frac{1}{2}$

Paso 5

Establece el argumento en $\arcsin (\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}})$ menor o igual que $1$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}} \leq 1$

Paso 6

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}}}^{2} \leq 1^{2}$

Paso 6.2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}}$ como ${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 1^{2}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Simplifica ${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 1^{2}$

Paso 6.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 1^{2}$

Paso 6.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{1} \leq 1^{2}$

Paso 6.2.2.1.2

Simplifica.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} \leq 1^{2}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} \leq 1$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1 \leq 0$

Paso 6.3.2

Simplifica $\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1$ .

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Paso 6.3.2.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1 \cdot \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} \leq 0$

Paso 6.3.2.2

Combina $- 1$ y $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$\frac{2 x}{1 - 2 x} + \frac{- (1 - 2 x)}{1 - 2 x} \leq 0$

Paso 6.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x - (1 - 2 x)}{1 - 2 x} \leq 0$

Paso 6.3.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{1 - 2 x} \leq 0$

Paso 6.3.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x - 1 - (- 2 x)}{1 - 2 x} \leq 0$

Paso 6.3.2.4.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 + 2 x}{1 - 2 x} \leq 0$

Paso 6.3.2.4.4

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\frac{4 x - 1}{1 - 2 x} \leq 0$

Paso 6.3.3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$4 x - 1 = 0$

$1 - 2 x = 0$

Paso 6.3.4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 1$

Paso 6.3.5

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 6.3.5.1

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 6.3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.5.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 6.3.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Paso 6.3.6

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - 1$

Paso 6.3.7

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 6.3.7.1

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 6.3.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.7.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 6.3.7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 6.3.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.7.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 6.3.8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = \frac{1}{4}$

$x = \frac{1}{2}$

Paso 6.3.9

Consolida las soluciones.

$x = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}$

Paso 6.4

Obtén el dominio de $\frac{\sqrt{2 x (1 - 2 x)} - 1 + 2 x}{1 - 2 x}$ .

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Paso 6.4.1

Establece el radicando en $\sqrt{2 x (1 - 2 x)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 x (1 - 2 x) \geq 0$

Paso 6.4.2

Resuelve $x$

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Paso 6.4.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$1 - 2 x = 0$

Paso 6.4.2.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6.4.2.3

Establece $1 - 2 x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.4.2.3.1

Establece $1 - 2 x$ igual a $0$ .

$1 - 2 x = 0$

Paso 6.4.2.3.2

Resuelve $1 - 2 x = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.2.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - 1$

Paso 6.4.2.3.2.2

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 6.4.2.3.2.2.1

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 6.4.2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 6.4.2.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 6.4.2.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 6.4.2.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.3.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 6.4.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x (1 - 2 x) \geq 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Paso 6.4.2.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Paso 6.4.2.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.4.2.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.2.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 6.4.2.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$2 (- 2) (1 - 2 \cdot - 2) \geq 0$

Paso 6.4.2.6.1.3

$- 20$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.4.2.6.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.4.2.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.25$

Paso 6.4.2.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0.25$ en la desigualdad original.

$2 (0.25) (1 - 2 \cdot 0.25) \geq 0$

Paso 6.4.2.6.2.3

$0.25$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 6.4.2.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.4.2.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 6.4.2.6.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$2 (3) (1 - 2 \cdot 3) \geq 0$

Paso 6.4.2.6.3.3

$- 30$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.4.2.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Verdadero

$x > \frac{1}{2}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Verdadero

$x > \frac{1}{2}$ Falso

Paso 6.4.2.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$

Paso 6.4.3

Establece el denominador en $\frac{\sqrt{2 x (1 - 2 x)} - 1 + 2 x}{1 - 2 x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$1 - 2 x = 0$

Paso 6.4.4

Resuelve $x$

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Paso 6.4.4.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - 1$

Paso 6.4.4.2

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 6.4.4.2.1

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 6.4.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.4.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 6.4.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 6.4.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.4.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 6.4.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, \frac{1}{2})$

Paso 6.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Paso 6.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 6.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\sqrt{\frac{2 (- 2)}{1 - 2 \cdot - 2}} \leq 1$

Paso 6.6.1.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.6.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{1}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{1}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.12$

Paso 6.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0.12$ en la desigualdad original.

$\sqrt{\frac{2 (0.12)}{1 - 2 \cdot 0.12}} \leq 1$

Paso 6.6.2.3

$0.56195148$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 6.6.3

Prueba un valor en el intervalo $\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.38$

Paso 6.6.3.2

Reemplaza $x$ con $0.38$ en la desigualdad original.

$\sqrt{\frac{2 (0.38)}{1 - 2 \cdot 0.38}} \leq 1$

Paso 6.6.3.3

$1.77951304$ del lado izquierdo es mayor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.6.4

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.6.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 6.6.4.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$\sqrt{\frac{2 (3)}{1 - 2 \cdot 3}} \leq 1$

Paso 6.6.4.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.6.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{4}$ Verdadero

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ Falso

$x > \frac{1}{2}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{4}$ Verdadero

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ Falso

$x > \frac{1}{2}$ Falso

Paso 6.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 \leq x \leq \frac{1}{4}$

Paso 7

Establece el denominador en $\frac{2 x}{1 - 2 x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$1 - 2 x = 0$

Paso 8

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - 1$

Paso 8.2

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 8.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 8.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 9

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[0, \frac{1}{4}]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | 0 \leq x \leq \frac{1}{4}}$

Paso 10