Precálculo Ejemplos

$2 (7^{2 x}) + 7^{x + 1} = 15$

Paso 1

Reescribe $7^{x + 1}$ como $7^{x} \cdot 7^{1}$ .

$2 \cdot 7^{2 x} + 7^{x} \cdot 7 = 15$

Paso 2

Reescribe $7^{2 x}$ como exponenciación.

$2 \cdot {(7^{x})}^{2} + 7^{x} \cdot 7 = 15$

Paso 3

Sustituye $u$ por $7^{x}$ .

$2 u^{2} + u \cdot 7 = 15$

Paso 4

Mueve $7$ a la izquierda de $u$ .

$2 u^{2} + 7 u = 15$

Paso 5

Resuelve $u$

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Paso 5.1

Resta $15$ de ambos lados de la ecuación.

$2 u^{2} + 7 u - 15 = 0$

Paso 5.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ y cuya suma es $b = 7$ .

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Paso 5.2.1.1

Factoriza $7$ de $7 u$ .

$2 u^{2} + 7 (u) - 15 = 0$

Paso 5.2.1.2

Reescribe $7$ como $- 3$ más $10$

$2 u^{2} + (- 3 + 10) u - 15 = 0$

Paso 5.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 u^{2} - 3 u + 10 u - 15 = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 u^{2} - 3 u) + 10 u - 15 = 0$

Paso 5.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (2 u - 3) + 5 (2 u - 3) = 0$

Paso 5.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 3$ .

$(2 u - 3) (u + 5) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 u - 3 = 0$

$u + 5 = 0$

Paso 5.4

Establece $2 u - 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.4.1

Establece $2 u - 3$ igual a $0$ .

$2 u - 3 = 0$

Paso 5.4.2

Resuelve $2 u - 3 = 0$ en $u$ .

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Paso 5.4.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 u = 3$

Paso 5.4.2.2

Divide cada término en $2 u = 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.4.2.2.1

Divide cada término en $2 u = 3$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 5.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 5.4.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{3}{2}$

Paso 5.5

Establece $u + 5$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.5.1

Establece $u + 5$ igual a $0$ .

$u + 5 = 0$

Paso 5.5.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 5$

Paso 5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 u - 3) (u + 5) = 0$ verdadera.

$u = \frac{3}{2}, - 5$

Paso 6

Sustituye $\frac{3}{2}$ por $u$ en $u = 7^{x}$ .

$\frac{3}{2} = 7^{x}$

Paso 7

Resuelve $\frac{3}{2} = 7^{x}$ .

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación como $7^{x} = \frac{3}{2}$ .

$7^{x} = \frac{3}{2}$

Paso 7.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (7^{x}) = \ln (\frac{3}{2})$

Paso 7.3

Expande $\ln (7^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (7) = \ln (\frac{3}{2})$

Paso 7.4

Divide cada término en $x \ln (7) = \ln (\frac{3}{2})$ por $\ln (7)$ y simplifica.

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Paso 7.4.1

Divide cada término en $x \ln (7) = \ln (\frac{3}{2})$ por $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (7)}$

Paso 7.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (7)$ .

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Paso 7.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (7)}$

Paso 7.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (7)}$

Paso 8

Sustituye $- 5$ por $u$ en $u = 7^{x}$ .

$- 5 = 7^{x}$

Paso 9

Resuelve $- 5 = 7^{x}$ .

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Paso 9.1

Reescribe la ecuación como $7^{x} = - 5$ .

$7^{x} = - 5$

Paso 9.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (7^{x}) = \ln (- 5)$

Paso 9.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- 5)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 9.4

No hay soluciones para $7^{x} = - 5$

No hay solución

Paso 10

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (7)}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (7)}$

Forma decimal:

$x = 0.20836784 \dots$