Precálculo Ejemplos

$\log (2 x + 1) = \log (x - 3) + \log (x + 5)$

Paso 1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1

Simplifica $\log (x - 3) + \log (x + 5)$ .

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Paso 1.1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (2 x + 1) = \log ((x - 3) (x + 5))$

Paso 1.1.2

Expande $(x - 3) (x + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (2 x + 1) = \log (x (x + 5) - 3 (x + 5))$

Paso 1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (2 x + 1) = \log (x \cdot x + x \cdot 5 - 3 (x + 5))$

Paso 1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (2 x + 1) = \log (x \cdot x + x \cdot 5 - 3 x - 3 \cdot 5)$

Paso 1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log (2 x + 1) = \log (x^{2} + x \cdot 5 - 3 x - 3 \cdot 5)$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$\log (2 x + 1) = \log (x^{2} + 5 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 5)$

Paso 1.1.3.1.3

Multiplica $- 3$ por $5$ .

$\log (2 x + 1) = \log (x^{2} + 5 x - 3 x - 15)$

Paso 1.1.3.2

Resta $3 x$ de $5 x$ .

$\log (2 x + 1) = \log (x^{2} + 2 x - 15)$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$2 x + 1 = x^{2} + 2 x - 15$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{2} + 2 x - 15 = 2 x + 1$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 2 x - 15 - 2 x = 1$

Paso 3.2.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} + 2 x - 15 - 2 x$ .

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Paso 3.2.2.1

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$x^{2} + 0 - 15 = 1$

Paso 3.2.2.2

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$x^{2} - 15 = 1$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Suma $15$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 1 + 15$

Paso 3.3.2

Suma $1$ y $15$ .

$x^{2} = 16$

Paso 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Paso 3.5

Simplifica $\pm \sqrt{16}$ .

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Paso 3.5.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Paso 3.5.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 4$

Paso 3.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 4$

Paso 3.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 4$

Paso 3.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 4, - 4$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log (2 x + 1) = \log (x - 3) + \log (x + 5)$ sea verdadera.

$x = 4$