Precálculo Ejemplos

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{7}$

Paso 1

Usa la definición de seno para obtener los lados conocidos del triángulo rectángulo del círculo unitario. El cuadrante determina el signo en cada uno de los valores.

$\sin (x) = \frac{opuesto}{hipotenusa}$

Paso 2

Obtén el lado adyacente del triángulo del círculo unitario. Dado que se conocen la hipotenusa y los lados opuestos, usa el teorema de Pitágoras para encontrar el lado restante.

$Adyacente = - \sqrt{{hipotenusa}^{2} - {opuesto}^{2}}$

Paso 3

Reemplaza los valores conocidos en la ecuación.

$Adyacente = - \sqrt{{(7)}^{2} - {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 4

Simplifica dentro del radical.

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Paso 4.1

Haz que $\sqrt{{(7)}^{2} - {(- \sqrt{3})}^{2}}$ sea negativo.

Adyacente $= - \sqrt{{(7)}^{2} - {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 4.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

Adyacente $= - \sqrt{49 - {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 4.3

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3}$ .

Adyacente $= - \sqrt{49 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2})}$

Paso 4.4

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.1

Mueve ${(- 1)}^{2}$ .

Adyacente $= - \sqrt{49 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{3}}^{2})}$

Paso 4.4.2

Multiplica ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

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Paso 4.4.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

Adyacente $= - \sqrt{49 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{3}}^{2})}$

Paso 4.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

Adyacente $= - \sqrt{49 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 4.4.3

Suma $2$ y $1$ .

Adyacente $= - \sqrt{49 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 4.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

Adyacente $= - \sqrt{49 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

Adyacente $= - \sqrt{49 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Adyacente $= - \sqrt{49 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

Adyacente $= - \sqrt{49 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.6.4.1

Cancela el factor común.

Adyacente $= - \sqrt{49 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.6.4.2

Reescribe la expresión.

Adyacente $= - \sqrt{49 - 3}$

Paso 4.6.5

Evalúa el exponente.

Adyacente $= - \sqrt{49 - 1 \cdot 3}$

Paso 4.7

Multiplica $- 1$ por $3$ .

Adyacente $= - \sqrt{49 - 3}$

Paso 4.8

Resta $3$ de $49$ .

Adyacente $= - \sqrt{46}$

Paso 5

Obtén el valor del coseno.

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Paso 5.1

Usa la definición de coseno para obtener el valor de $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{46}}{7}$

Paso 5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{46}}{7}$

Paso 6

Obtén el valor de la tangente.

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Paso 6.1

Usa la definición de tangente para obtener el valor de $\tan (x)$ .

$\tan (x) = \frac{opp}{adj}$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos.

$\tan (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- \sqrt{46}}$

Paso 6.3

Simplifica el valor de $\tan (x)$ .

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Paso 6.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{46}}$

Paso 6.3.2

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{46}}$ por $\frac{\sqrt{46}}{\sqrt{46}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{46}} \cdot \frac{\sqrt{46}}{\sqrt{46}}$

Paso 6.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.3.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{46}}$ por $\frac{\sqrt{46}}{\sqrt{46}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{46}}{\sqrt{46} \sqrt{46}}$

Paso 6.3.3.2

Eleva $\sqrt{46}$ a la potencia de $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{46}}{\sqrt{46} \sqrt{46}}$

Paso 6.3.3.3

Eleva $\sqrt{46}$ a la potencia de $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{46}}{\sqrt{46} \sqrt{46}}$

Paso 6.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{46}}{{\sqrt{46}}^{1 + 1}}$

Paso 6.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{46}}{{\sqrt{46}}^{2}}$

Paso 6.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{46}}^{2}$ como $46$ .

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Paso 6.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{46}$ como $46^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{46}}{{(46^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{46}}{46^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{46}}{46^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{46}}{46^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{46}}{46}$

Paso 6.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{46}}{46}$

Paso 6.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3 \cdot 46}}{46}$

Paso 6.3.4.2

Multiplica $3$ por $46$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{138}}{46}$

Paso 7

Obtén el valor de la cotangente.

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Paso 7.1

Usa la definición de cotangente para obtener el valor de $\cot (x)$ .

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos.

$\cot (x) = \frac{- \sqrt{46}}{- \sqrt{3}}$

Paso 7.3

Simplifica el valor de $\cot (x)$ .

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Paso 7.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{46}}{\sqrt{3}}$

Paso 7.3.2

Multiplica $\frac{\sqrt{46}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{46}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 7.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.3.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{46}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{46} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 7.3.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{46} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 7.3.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{46} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 7.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{46} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 7.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{46} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 7.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 7.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{46} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{46} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{46} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{46} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{46} \sqrt{3}}{3}$

Paso 7.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{46} \sqrt{3}}{3}$

Paso 7.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{46 \cdot 3}}{3}$

Paso 7.3.4.2

Multiplica $46$ por $3$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{138}}{3}$

Paso 8

Obtén el valor de la secante.

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Paso 8.1

Usa la definición de secante para obtener el valor de $\sec (x)$ .

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos.

$\sec (x) = \frac{7}{- \sqrt{46}}$

Paso 8.3

Simplifica el valor de $\sec (x)$ .

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Paso 8.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sec (x) = - \frac{7}{\sqrt{46}}$

Paso 8.3.2

Multiplica $\frac{7}{\sqrt{46}}$ por $\frac{\sqrt{46}}{\sqrt{46}}$ .

$\sec (x) = - (\frac{7}{\sqrt{46}} \cdot \frac{\sqrt{46}}{\sqrt{46}})$

Paso 8.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.3.3.1

Multiplica $\frac{7}{\sqrt{46}}$ por $\frac{\sqrt{46}}{\sqrt{46}}$ .

$\sec (x) = - \frac{7 \sqrt{46}}{\sqrt{46} \sqrt{46}}$

Paso 8.3.3.2

Eleva $\sqrt{46}$ a la potencia de $1$ .

$\sec (x) = - \frac{7 \sqrt{46}}{\sqrt{46} \sqrt{46}}$

Paso 8.3.3.3

Eleva $\sqrt{46}$ a la potencia de $1$ .

$\sec (x) = - \frac{7 \sqrt{46}}{\sqrt{46} \sqrt{46}}$

Paso 8.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec (x) = - \frac{7 \sqrt{46}}{{\sqrt{46}}^{1 + 1}}$

Paso 8.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sec (x) = - \frac{7 \sqrt{46}}{{\sqrt{46}}^{2}}$

Paso 8.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{46}}^{2}$ como $46$ .

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Paso 8.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{46}$ como $46^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = - \frac{7 \sqrt{46}}{{(46^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = - \frac{7 \sqrt{46}}{46^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sec (x) = - \frac{7 \sqrt{46}}{46^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sec (x) = - \frac{7 \sqrt{46}}{46^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sec (x) = - \frac{7 \sqrt{46}}{46}$

Paso 8.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\sec (x) = - \frac{7 \sqrt{46}}{46}$

Paso 9

Obtén el valor de la cosecante.

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Paso 9.1

Usa la definición de cosecante para obtener el valor de $\csc (x)$ .

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

Paso 9.2

Sustituye los valores conocidos.

$\csc (x) = \frac{7}{- \sqrt{3}}$

Paso 9.3

Simplifica el valor de $\csc (x)$ .

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Paso 9.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\csc (x) = - \frac{7}{\sqrt{3}}$

Paso 9.3.2

Multiplica $\frac{7}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - (\frac{7}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Paso 9.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.3.1

Multiplica $\frac{7}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{7 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\csc (x) = - \frac{7 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\csc (x) = - \frac{7 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 9.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\csc (x) = - \frac{7 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\csc (x) = - \frac{7 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 9.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{7 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = - \frac{7 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\csc (x) = - \frac{7 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\csc (x) = - \frac{7 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\csc (x) = - \frac{7 \sqrt{3}}{3}$

Paso 9.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\csc (x) = - \frac{7 \sqrt{3}}{3}$

Paso 10

Esta es la solución de cada valor trigonométrico.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{7}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{46}}{7}$

$\tan (x) = \frac{\sqrt{138}}{46}$

$\cot (x) = \frac{\sqrt{138}}{3}$

$\sec (x) = - \frac{7 \sqrt{46}}{46}$

$\csc (x) = - \frac{7 \sqrt{3}}{3}$