Precálculo Ejemplos

$g (x) = 8 x^{5} + 18 x^{4} - 5 x^{3} - 72 x^{2} - 162 x + 45$

Paso 1

Establece $8 x^{5} + 18 x^{4} - 5 x^{3} - 72 x^{2} - 162 x + 45$ igual a $0$ .

$8 x^{5} + 18 x^{4} - 5 x^{3} - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$8 x^{5} + 18 x^{4} - 5 x^{3} - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $x^{3}$ de $8 x^{5} + 18 x^{4} - 5 x^{3}$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $x^{3}$ de $8 x^{5}$ .

$x^{3} (8 x^{2}) + 18 x^{4} - 5 x^{3} - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $x^{3}$ de $18 x^{4}$ .

$x^{3} (8 x^{2}) + x^{3} (18 x) - 5 x^{3} - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $x^{3}$ de $- 5 x^{3}$ .

$x^{3} (8 x^{2}) + x^{3} (18 x) + x^{3} \cdot - 5 - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Paso 2.1.2.4

Factoriza $x^{3}$ de $x^{3} (8 x^{2}) + x^{3} (18 x)$ .

$x^{3} (8 x^{2} + 18 x) + x^{3} \cdot - 5 - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Paso 2.1.2.5

Factoriza $x^{3}$ de $x^{3} (8 x^{2} + 18 x) + x^{3} \cdot - 5$ .

$x^{3} (8 x^{2} + 18 x - 5) - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza.

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Paso 2.1.3.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.3.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 8 \cdot - 5 = - 40$ y cuya suma es $b = 18$ .

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Paso 2.1.3.1.1.1

Factoriza $18$ de $18 x$ .

$x^{3} (8 x^{2} + 18 (x) - 5) - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Paso 2.1.3.1.1.2

Reescribe $18$ como $- 2$ más $20$

$x^{3} (8 x^{2} + (- 2 + 20) x - 5) - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Paso 2.1.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} (8 x^{2} - 2 x + 20 x - 5) - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Paso 2.1.3.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.3.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$x^{3} ((8 x^{2} - 2 x) + 20 x - 5) - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Paso 2.1.3.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x^{3} (2 x (4 x - 1) + 5 (4 x - 1)) - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Paso 2.1.3.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 x - 1$ .

$x^{3} ((4 x - 1) (2 x + 5)) - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Paso 2.1.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza $9$ de $- 72 x^{2} - 162 x + 45$ .

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Paso 2.1.4.1

Factoriza $9$ de $- 72 x^{2}$ .

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 8 x^{2}) - 162 x + 45 = 0$

Paso 2.1.4.2

Factoriza $9$ de $- 162 x$ .

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 8 x^{2}) + 9 (- 18 x) + 45 = 0$

Paso 2.1.4.3

Factoriza $9$ de $45$ .

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 8 x^{2}) + 9 (- 18 x) + 9 (5) = 0$

Paso 2.1.4.4

Factoriza $9$ de $9 (- 8 x^{2}) + 9 (- 18 x)$ .

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 8 x^{2} - 18 x) + 9 (5) = 0$

Paso 2.1.4.5

Factoriza $9$ de $9 (- 8 x^{2} - 18 x) + 9 (5)$ .

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 8 x^{2} - 18 x + 5) = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza.

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Paso 2.1.5.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.5.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 8 \cdot 5 = - 40$ y cuya suma es $b = - 18$ .

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Paso 2.1.5.1.1.1

Factoriza $- 18$ de $- 18 x$ .

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 8 x^{2} - 18 x + 5) = 0$

Paso 2.1.5.1.1.2

Reescribe $- 18$ como $2$ más $- 20$

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 8 x^{2} + (2 - 20) x + 5) = 0$

Paso 2.1.5.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 8 x^{2} + 2 x - 20 x + 5) = 0$

Paso 2.1.5.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.5.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 ((- 8 x^{2} + 2 x) - 20 x + 5) = 0$

Paso 2.1.5.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (2 x (- 4 x + 1) + 5 (- 4 x + 1)) = 0$

Paso 2.1.5.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 4 x + 1$ .

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 ((- 4 x + 1) (2 x + 5)) = 0$

Paso 2.1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 4 x + 1) (2 x + 5) = 0$

Paso 2.1.6

Factoriza $2 x + 5$ de $x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 4 x + 1) (2 x + 5)$ .

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Paso 2.1.6.1

Factoriza $2 x + 5$ de $x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5)$ .

$(2 x + 5) (x^{3} (4 x - 1)) + 9 (- 4 x + 1) (2 x + 5) = 0$

Paso 2.1.6.2

Factoriza $2 x + 5$ de $9 (- 4 x + 1) (2 x + 5)$ .

$(2 x + 5) (x^{3} (4 x - 1)) + (2 x + 5) (9 (- 4 x + 1)) = 0$

Paso 2.1.6.3

Factoriza $2 x + 5$ de $(2 x + 5) (x^{3} (4 x - 1)) + (2 x + 5) (9 (- 4 x + 1))$ .

$(2 x + 5) (x^{3} (4 x - 1) + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

Paso 2.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x + 5) (x^{3} (4 x) + x^{3} \cdot - 1 + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

Paso 2.1.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(2 x + 5) (4 x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

Paso 2.1.9

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$(2 x + 5) (4 x^{3} x - 1 \cdot x^{3} + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

Paso 2.1.10

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.10.1

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.10.1.1

Mueve $x$ .

$(2 x + 5) (4 (x \cdot x^{3}) - 1 \cdot x^{3} + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

Paso 2.1.10.1.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 2.1.10.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(2 x + 5) (4 (x \cdot x^{3}) - 1 \cdot x^{3} + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

Paso 2.1.10.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(2 x + 5) (4 x^{1 + 3} - 1 \cdot x^{3} + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

Paso 2.1.10.1.3

Suma $1$ y $3$ .

$(2 x + 5) (4 x^{4} - 1 \cdot x^{3} + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

$(2 x + 5) (4 x^{4} - 1 x^{3} + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

Paso 2.1.10.2

Reescribe $- 1 x^{3}$ como $- x^{3}$ .

$(2 x + 5) (4 x^{4} - x^{3} + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

Paso 2.1.11

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x + 5) (4 x^{4} - x^{3} + 9 (- 4 x) + 9 \cdot 1) = 0$

Paso 2.1.12

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$(2 x + 5) (4 x^{4} - x^{3} - 36 x + 9 \cdot 1) = 0$

Paso 2.1.13

Multiplica $9$ por $1$ .

$(2 x + 5) (4 x^{4} - x^{3} - 36 x + 9) = 0$

Paso 2.1.14

Factoriza.

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Paso 2.1.14.1

Reescribe $4 x^{4} - x^{3} - 36 x + 9$ en forma factorizada.

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Paso 2.1.14.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.14.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 x + 5) ((4 x^{4} - x^{3}) - 36 x + 9) = 0$

Paso 2.1.14.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(2 x + 5) (x^{3} (4 x - 1) - 9 (4 x - 1)) = 0$

Paso 2.1.14.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 x - 1$ .

$(2 x + 5) ((4 x - 1) (x^{3} - 9)) = 0$

Paso 2.1.14.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(2 x + 5) (4 x - 1) (x^{3} - 9) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x + 5 = 0$

$4 x - 1 = 0$

$x^{3} - 9 = 0$

Paso 2.3

Establece $2 x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $2 x + 5$ igual a $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $2 x + 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 5$

Paso 2.3.2.2

Divide cada término en $2 x = - 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Paso 2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Paso 2.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Paso 2.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{2}$

Paso 2.4

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $4 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 1$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Paso 2.5

Establece $x^{3} - 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x^{3} - 9$ igual a $0$ .

$x^{3} - 9 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $x^{3} - 9 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = 9$

Paso 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{9}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x + 5) (4 x - 1) (x^{3} - 9) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{5}{2}, \frac{1}{4}, \sqrt[3]{9}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{5}{2}, \frac{1}{4}, \sqrt[3]{9}$

Forma decimal:

$x = - 2.5, 0.25, 2.08008382 \dots$

Forma de número mixto:

$x = - 2 \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \sqrt[3]{9}$

Paso 4