Precálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{4} - 7 x^{3} - 3 x^{2} - 7 x - 6$

Paso 1

Establece $3 x^{4} - 7 x^{3} - 3 x^{2} - 7 x - 6$ igual a $0$ .

$3 x^{4} - 7 x^{3} - 3 x^{2} - 7 x - 6 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$- 7 x^{3} - 7 x + 3 x^{4} - 3 x^{2} - 6 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $- 7 x$ de $- 7 x^{3} - 7 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $- 7 x$ de $- 7 x^{3}$ .

$- 7 x \cdot x^{2} - 7 x + 3 x^{4} - 3 x^{2} - 6 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $- 7 x$ de $- 7 x$ .

$- 7 x \cdot x^{2} - 7 x \cdot 1 + 3 x^{4} - 3 x^{2} - 6 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $- 7 x$ de $- 7 x (x^{2}) - 7 x (1)$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 x^{4} - 3 x^{2} - 6 = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $3$ de $3 x^{4} - 3 x^{2} - 6$ .

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Paso 2.1.3.1

Factoriza $3$ de $3 x^{4}$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{4}) - 3 x^{2} - 6 = 0$

Paso 2.1.3.2

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{4}) + 3 (- x^{2}) - 6 = 0$

Paso 2.1.3.3

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{4}) + 3 (- x^{2}) + 3 (- 2) = 0$

Paso 2.1.3.4

Factoriza $3$ de $3 (x^{4}) + 3 (- x^{2})$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{4} - x^{2}) + 3 (- 2) = 0$

Paso 2.1.3.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{4} - x^{2}) + 3 (- 2)$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{4} - x^{2} - 2) = 0$

Paso 2.1.4

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 2) = 0$

Paso 2.1.5

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (u^{2} - u - 2) = 0$

Paso 2.1.6

Factoriza $u^{2} - u - 2$ con el método AC.

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Paso 2.1.6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Paso 2.1.6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 ((u - 2) (u + 1)) = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza.

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Paso 2.1.7.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 ((x^{2} - 2) (x^{2} + 1)) = 0$

Paso 2.1.7.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) = 0$

Paso 2.1.8

Factoriza $x^{2} + 1$ de $- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{2} - 2) (x^{2} + 1)$ .

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Paso 2.1.8.1

Factoriza $x^{2} + 1$ de $- 7 x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- 7 x) + 3 (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) = 0$

Paso 2.1.8.2

Factoriza $x^{2} + 1$ de $3 (x^{2} - 2) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- 7 x) + (x^{2} + 1) (3 (x^{2} - 2)) = 0$

Paso 2.1.8.3

Factoriza $x^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) (- 7 x) + (x^{2} + 1) (3 (x^{2} - 2))$ .

$(x^{2} + 1) (- 7 x + 3 (x^{2} - 2)) = 0$

Paso 2.1.9

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} + 1) (- 7 x + 3 x^{2} + 3 \cdot - 2) = 0$

Paso 2.1.10

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$(x^{2} + 1) (- 7 x + 3 x^{2} - 6) = 0$

Paso 2.1.11

Reordena los términos.

$(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 7 x - 6) = 0$

Paso 2.1.12

Factoriza.

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Paso 2.1.12.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.12.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 6 = - 18$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 2.1.12.1.1.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 x$ .

$(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 7 x - 6) = 0$

Paso 2.1.12.1.1.2

Reescribe $- 7$ como $2$ más $- 9$

$(x^{2} + 1) (3 x^{2} + (2 - 9) x - 6) = 0$

Paso 2.1.12.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 2 x - 9 x - 6) = 0$

Paso 2.1.12.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.12.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x^{2} + 1) ((3 x^{2} + 2 x) - 9 x - 6) = 0$

Paso 2.1.12.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x^{2} + 1) (x (3 x + 2) - 3 (3 x + 2)) = 0$

Paso 2.1.12.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 2$ .

$(x^{2} + 1) ((3 x + 2) (x - 3)) = 0$

Paso 2.1.12.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} + 1) (3 x + 2) (x - 3) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$3 x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 2.3

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $x^{2} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 1$

Paso 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 2.3.2.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 2.3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 2.3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 2.3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 2.4

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $3 x + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 2$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Paso 2.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 2.5

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} + 1) (3 x + 2) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = i, - i, - \frac{2}{3}, 3$

Paso 3