Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7$

Paso 1

Establece $x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7$ igual a $0$ .

$x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$x^{5} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $x$ de $x^{5} + 2 x^{3} + x$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $x$ de $2 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 2.1.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 2.1.2.4

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 2.1.2.5

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{4} + x (2 x^{2})$ .

$x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 2.1.2.6

Factoriza $x$ de $x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1$ .

$x (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 2.1.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$x (u^{2} + 2 u + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1.5.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x (u^{2} + 2 u + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 2.1.5.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Paso 2.1.5.3

Reescribe el polinomio.

$x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 2.1.5.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 1$ .

$x {(u + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 2.1.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza $7$ de $7 x^{4} + 14 x^{2} + 7$ .

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Paso 2.1.7.1

Factoriza $7$ de $7 x^{4}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 2.1.7.2

Factoriza $7$ de $14 x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 = 0$

Paso 2.1.7.3

Factoriza $7$ de $7$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

Paso 2.1.7.4

Factoriza $7$ de $7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2})$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

Paso 2.1.7.5

Factoriza $7$ de $7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1)$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Paso 2.1.8

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Paso 2.1.9

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Paso 2.1.10

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1.10.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Paso 2.1.10.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Paso 2.1.10.3

Reescribe el polinomio.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 2.1.10.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 1$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(u + 1)}^{2} = 0$

Paso 2.1.11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Paso 2.1.12

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{2}$ de $x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Paso 2.1.12.1

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{2}$ de $x {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} x + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Paso 2.1.12.2

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{2}$ de $7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7 = 0$

Paso 2.1.12.3

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{2}$ de ${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

$x + 7 = 0$

Paso 2.3

Establece ${(x^{2} + 1)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece ${(x^{2} + 1)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve ${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Paso 2.3.2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.3.2.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 1$

Paso 2.3.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 2.3.2.2.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 2.3.2.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.2.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 2.3.2.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 2.3.2.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 2.4

Establece $x + 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x + 7$ igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Paso 2.4.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 7$

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$ verdadera.

$x = i, - i, - 7$

Paso 3