Precálculo Ejemplos

$x^{4} + y^{3} = 264$ , $3 x^{4} + 5 y^{3} = 808$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Reordena $x^{4}$ y $y^{3}$ .

$y^{3} + x^{4} = 264$

$3 x^{4} + 5 y^{3} = 808$

$y^{3} + x^{4} = 264$

$3 x^{4} + 5 y^{3} = 808$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Reordena $3 x^{4}$ y $5 y^{3}$ .

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

$y^{3} + x^{4} = 264$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

$y^{3} + x^{4} = 264$

Paso 3

Multiplica cada ecuación por el valor que hace que los coeficientes de $x^{4}$ sean opuestos.

$- 3 \cdot (y^{3} + x^{4}) = (- 3) (264)$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 y^{3} - 3 x^{4} = (- 3) (264)$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

$- 3 y^{3} - 3 x^{4} = (- 3) (264)$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Multiplica $- 3$ por $264$ .

$- 3 y^{3} - 3 x^{4} = - 792$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

$- 3 y^{3} - 3 x^{4} = - 792$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

$- 3 y^{3} - 3 x^{4} = - 792$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

Paso 5

Suma las dos ecuaciones para eliminar $x^{4}$ del sistema.

	$-$	$3$	$y^{3}$	$-$	$3$	$x^{4}$	$=$	$-$	$7$	$9$	$2$
$+$		$5$	$y^{3}$	$+$	$3$	$x^{4}$	$=$		$8$	$0$	$8$
		$2$	$y^{3}$				$=$			$1$	$6$

Paso 6

Divide cada término en $2 y^{3} = 16$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $2 y^{3} = 16$ por $2$ .

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{16}{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{16}{2}$

Paso 6.2.1.2

Divide $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{16}{2}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Divide $16$ por $2$ .

$y^{3} = 8$

Paso 7

Sustituye el valor obtenido para $y^{3}$ en una de las ecuaciones originales; luego, resuelve $x^{4}$ .

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Paso 7.1

Sustituye el valor obtenido para $y^{3}$ en una de las ecuaciones originales para resolver $x^{4}$ .

$- 3 \cdot 8 - 3 x^{4} = - 792$

Paso 7.2

Multiplica $- 3$ por $8$ .

$- 24 - 3 x^{4} = - 792$

Paso 7.3

Mueve todos los términos que no contengan $x^{4}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.3.1

Suma $24$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3 x^{4} = - 792 + 24$

Paso 7.3.2

Suma $- 792$ y $24$ .

$- 3 x^{4} = - 768$

Paso 7.4

Divide cada término en $- 3 x^{4} = - 768$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 7.4.1

Divide cada término en $- 3 x^{4} = - 768$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 768}{- 3}$

Paso 7.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.4.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 7.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 768}{- 3}$

Paso 7.4.2.1.2

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} = \frac{- 768}{- 3}$

Paso 7.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.4.3.1

Divide $- 768$ por $- 3$ .

$x^{4} = 256$

Paso 8

Esta es la solución final al sistema de ecuaciones independientes.

$y^{3} = 8$

$x^{4} = 256$

Paso 9

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{3} - 8 = 0$

$x^{4} = 256$

Paso 10

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 10.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$y^{3} - 2^{3} = 0$

$x^{4} = 256$

Paso 10.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = y$ y $b = 2$ .

$(y - 2) (y^{2} + y \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

$x^{4} = 256$

Paso 10.3

Simplifica.

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Paso 10.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$(y - 2) (y^{2} + 2 \cdot y + 2^{2}) = 0$

$x^{4} = 256$

Paso 10.3.2

Multiplica $2$ por $y$ .

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 2^{2}) = 0$

$x^{4} = 256$

Paso 10.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$

$x^{4} = 256$

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$

$x^{4} = 256$

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$

$x^{4} = 256$

Paso 11

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

$x^{4} = 256$

Paso 12

Establece $y - 2$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 12.1

Establece $y - 2$ igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

$x^{4} = 256$

Paso 12.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 2$

$x^{4} = 256$

$y = 2$

$x^{4} = 256$

Paso 13

Establece $y^{2} + 2 y + 4$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 13.1

Establece $y^{2} + 2 y + 4$ igual a $0$ .

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2

Resuelve $y^{2} + 2 y + 4 = 0$ en $y$ .

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Paso 13.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.3

Simplifica.

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Paso 13.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 13.2.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 13.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.3.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.3.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.3.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 13.2.3.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.3.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 13.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 13.2.4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 13.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.4.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.4.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.4.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 13.2.4.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.4.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.4.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.4.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = - 1 + i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

$y = - 1 + i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 13.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 13.2.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 13.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.5.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.5.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.5.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 13.2.5.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.5.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.5.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.5.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

$y = - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

Paso 13.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

$y = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

$y = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

Paso 14

La solución final comprende todos los valores que hacen $(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$ verdadera.

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

Paso 15

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{256}$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 16

Simplifica $\pm \sqrt[4]{256}$ .

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Paso 16.1

Reescribe $256$ como $4^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{4^{4}}$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 16.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x = \pm 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 17

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 17.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 17.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 17.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 4, - 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x = 4, - 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 18

El resultado final es la combinación de todos los valores de $x$ con todos los valores de $y$ .

$(4, 2), (4, - 1 + i \sqrt{3}), (4, - 1 - i \sqrt{3}), (- 4, 2), (- 4, - 1 + i \sqrt{3}), (- 4, - 1 - i \sqrt{3})$

Paso 19