Precálculo Ejemplos

$\sqrt{1 + {(x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Paso 1

Reescribe ${(x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})}^{2}$ como $(x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}}) (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})$ .

$\sqrt{1 + (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}}) (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})}$

Paso 2

Expande $(x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}}) (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{1 + x^{3} (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}}) - \frac{1}{4 x^{3}} (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})}$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{1 + x^{3} x^{3} + x^{3} (- \frac{1}{4 x^{3}}) - \frac{1}{4 x^{3}} (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})}$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{1 + x^{3} x^{3} + x^{3} (- \frac{1}{4 x^{3}}) - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $x^{3}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{1 + x^{3 + 3} + x^{3} (- \frac{1}{4 x^{3}}) - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Paso 3.1.1.2

Suma $3$ y $3$ .

$\sqrt{1 + x^{6} + x^{3} (- \frac{1}{4 x^{3}}) - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Paso 3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\sqrt{1 + x^{6} - x^{3} \frac{1}{4 x^{3}} - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Paso 3.1.3

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 3.1.3.1

Factoriza $x^{3}$ de $- x^{3}$ .

$\sqrt{1 + x^{6} + x^{3} \cdot - 1 \frac{1}{4 x^{3}} - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Paso 3.1.3.2

Factoriza $x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$\sqrt{1 + x^{6} + x^{3} \cdot - 1 \frac{1}{x^{3} \cdot 4} - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Paso 3.1.3.3

Cancela el factor común.

$\sqrt{1 + x^{6} + x^{3} \cdot - 1 \frac{1}{x^{3} \cdot 4} - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Paso 3.1.3.4

Reescribe la expresión.

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Paso 3.1.4

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 3.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{4 x^{3}}$ al numerador.

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} + \frac{- 1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Paso 3.1.4.2

Factoriza $x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} + \frac{- 1}{x^{3} \cdot 4} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Paso 3.1.4.3

Cancela el factor común.

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} + \frac{- 1}{x^{3} \cdot 4} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Paso 3.1.4.4

Reescribe la expresión.

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Paso 3.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Paso 3.1.6

Multiplica $- \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})$ .

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Paso 3.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 \frac{1}{4 x^{3}} \frac{1}{4 x^{3}}}$

Paso 3.1.6.2

Multiplica $\frac{1}{4 x^{3}}$ por $1$ .

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 x^{3}} \cdot \frac{1}{4 x^{3}}}$

Paso 3.1.6.3

Multiplica $\frac{1}{4 x^{3}}$ por $\frac{1}{4 x^{3}}$ .

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 x^{3} (4 x^{3})}}$

Paso 3.1.6.4

Multiplica $4$ por $4$ .

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{16 x^{3} x^{3}}}$

Paso 3.1.6.5

Multiplica $x^{3}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.6.5.1

Mueve $x^{3}$ .

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{16 (x^{3} x^{3})}}$

Paso 3.1.6.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{16 x^{3 + 3}}}$

Paso 3.1.6.5.3

Suma $3$ y $3$ .

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Paso 3.2

Resta $\frac{1}{4}$ de $- \frac{1}{4}$ .

$\sqrt{1 + x^{6} - 2 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\sqrt{1 + x^{6} + 2 (- 1) \frac{1}{4} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Paso 4.1.1.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\sqrt{1 + x^{6} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Paso 4.1.1.3

Cancela el factor común.

$\sqrt{1 + x^{6} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Paso 4.1.1.4

Reescribe la expresión.

$\sqrt{1 + x^{6} - 1 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Paso 4.1.2

Reescribe $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Paso 4.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{x^{6} + \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Paso 4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{x^{6} + \frac{2 - 1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Paso 4.2.3

Resta $1$ de $2$ .

$\sqrt{x^{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Paso 4.2.4

Reordena los términos.

$\sqrt{x^{6} + \frac{1}{16 x^{6}} + \frac{1}{2}}$

Paso 5

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.1

Reorganiza los términos.

$\sqrt{x^{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Paso 5.2

Reescribe $x^{6}$ como ${(x^{3})}^{2}$ .

$\sqrt{{(x^{3})}^{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Paso 5.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{{(x^{3})}^{2} + \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{16 x^{6}}}$

Paso 5.4

Reescribe $16 x^{6}$ como ${(4 x^{3})}^{2}$ .

$\sqrt{{(x^{3})}^{2} + \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{{(4 x^{3})}^{2}}}$

Paso 5.5

Reescribe $\frac{1^{2}}{{(4 x^{3})}^{2}}$ como ${(\frac{1}{4 x^{3}})}^{2}$ .

$\sqrt{{(x^{3})}^{2} + \frac{1}{2} + {(\frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Paso 5.6

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$\frac{1}{2} = 2 \cdot x^{3} \cdot \frac{1}{4 x^{3}}$

Paso 5.7

Reescribe el polinomio.

$\sqrt{{(x^{3})}^{2} + 2 \cdot x^{3} \cdot \frac{1}{4 x^{3}} + {(\frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Paso 5.8

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x^{3}$ y $b = \frac{1}{4 x^{3}}$ .

$\sqrt{{(x^{3} + \frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Paso 6

Para escribir $x^{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4 x^{3}}{4 x^{3}}$ .

$\sqrt{{(x^{3} \cdot \frac{4 x^{3}}{4 x^{3}} + \frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Combina $x^{3}$ y $\frac{4 x^{3}}{4 x^{3}}$ .

$\sqrt{{(\frac{x^{3} (4 x^{3})}{4 x^{3}} + \frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Paso 7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{{(\frac{x^{3} (4 x^{3}) + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\sqrt{{(\frac{4 x^{3} x^{3} + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Paso 8.2

Multiplica $x^{3}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$\sqrt{{(\frac{4 (x^{3} x^{3}) + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Paso 8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{{(\frac{4 x^{3 + 3} + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Paso 8.2.3

Suma $3$ y $3$ .

$\sqrt{{(\frac{4 x^{6} + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Paso 9

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 9.1

Aplica la regla del producto a $\frac{4 x^{6} + 1}{4 x^{3}}$ .

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{{(4 x^{3})}^{2}}}$

Paso 9.2

Aplica la regla del producto a $4 x^{3}$ .

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{4^{2} {(x^{3})}^{2}}}$

Paso 10

Simplifica el denominador.

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Paso 10.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{16 {(x^{3})}^{2}}}$

Paso 10.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 10.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{16 x^{3 \cdot 2}}}$

Paso 10.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{16 x^{6}}}$

Paso 11

Reescribe $16 x^{6}$ como ${(4 x^{3})}^{2}$ .

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{{(4 x^{3})}^{2}}}$

Paso 12

Reescribe $\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{{(4 x^{3})}^{2}}$ como ${(\frac{4 x^{6} + 1}{4 x^{3}})}^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{4 x^{6} + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Paso 13

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{4 x^{6} + 1}{4 x^{3}}$