Precálculo Ejemplos

$7^{2 x} + 7^{x + 1} - 60 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $7^{x + 1}$ como $7^{x} \cdot 7^{1}$ .

$7^{2 x} + 7^{x} \cdot 7 - 60 = 0$

Paso 1.2

Reescribe $7^{2 x}$ como ${(7^{x})}^{2}$ .

${(7^{x})}^{2} + 7^{x} \cdot 7 - 60 = 0$

Paso 1.3

Sea $u = 7^{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $7^{x}$ .

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Paso 1.3.1

Evalúa el exponente.

$u^{2} + u \cdot 7 - 60 = 0$

Paso 1.3.2

Mueve $7$ a la izquierda de $u$ .

$u^{2} + 7 u - 60 = 0$

Paso 1.4

Factoriza $u^{2} + 7 u - 60$ con el método AC.

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Paso 1.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 60$ y cuya suma es $7$ .

$- 5, 12$

Paso 1.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 5) (u + 12) = 0$

Paso 1.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7^{x}$ .

$(7^{x} - 5) (7^{x} + 12) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$7^{x} - 5 = 0$

$7^{x} + 12 = 0$

Paso 3

Establece $7^{x} - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $7^{x} - 5$ igual a $0$ .

$7^{x} - 5 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $7^{x} - 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$7^{x} = 5$

Paso 3.2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (7^{x}) = \ln (5)$

Paso 3.2.3

Expande $\ln (7^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (7) = \ln (5)$

Paso 3.2.4

Divide cada término en $x \ln (7) = \ln (5)$ por $\ln (7)$ y simplifica.

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Paso 3.2.4.1

Divide cada término en $x \ln (7) = \ln (5)$ por $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (5)}{\ln (7)}$

Paso 3.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (7)$ .

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Paso 3.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (5)}{\ln (7)}$

Paso 3.2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (7)}$

Paso 4

Establece $7^{x} + 12$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $7^{x} + 12$ igual a $0$ .

$7^{x} + 12 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $7^{x} + 12 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$7^{x} = - 12$

Paso 4.2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (7^{x}) = \ln (- 12)$

Paso 4.2.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- 12)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 4.2.4

No hay soluciones para $7^{x} = - 12$

No hay solución

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(7^{x} - 5) (7^{x} + 12) = 0$ verdadera.

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (7)}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (7)}$

Forma decimal:

$x = 0.82708747 \dots$