Precálculo Ejemplos

$5^{x - 2} = 3^{3 x + 2}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (5^{x - 2}) = \ln (3^{3 x + 2})$

Paso 2

Expande $\ln (5^{x - 2})$ ; para ello, mueve $x - 2$ fuera del logaritmo.

$(x - 2) \ln (5) = \ln (3^{3 x + 2})$

Paso 3

Expande $\ln (3^{3 x + 2})$ ; para ello, mueve $3 x + 2$ fuera del logaritmo.

$(x - 2) \ln (5) = (3 x + 2) \ln (3)$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.1

Simplifica $(x - 2) \ln (5)$ .

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Paso 4.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (x - 2) \ln (5) = (3 x + 2) \ln (3)$

Paso 4.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(x - 2) \ln (5) = (3 x + 2) \ln (3)$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (5) - 2 \ln (5) = (3 x + 2) \ln (3)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (5) - 2 \ln (5) = 3 x \ln (3) + 2 \ln (3)$

Paso 4.3

Resta $3 x \ln (3)$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (5) - 2 \ln (5) - 3 x \ln (3) = 2 \ln (3)$

Paso 4.4

Suma $2 \ln (5)$ a ambos lados de la ecuación.

$x \ln (5) - 3 x \ln (3) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$

Paso 4.5

Factoriza $x$ de $x \ln (5) - 3 x \ln (3)$ .

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Paso 4.5.1

Factoriza $x$ de $x \ln (5)$ .

$x (\ln (5)) - 3 x \ln (3) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$

Paso 4.5.2

Factoriza $x$ de $- 3 x \ln (3)$ .

$x (\ln (5)) + x (- 3 \ln (3)) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$

Paso 4.5.3

Factoriza $x$ de $x (\ln (5)) + x (- 3 \ln (3))$ .

$x (\ln (5) - 3 \ln (3)) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$

Paso 4.6

Divide cada término en $x (\ln (5) - 3 \ln (3)) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$ por $\ln (5) - 3 \ln (3)$ y simplifica.

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Paso 4.6.1

Divide cada término en $x (\ln (5) - 3 \ln (3)) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$ por $\ln (5) - 3 \ln (3)$ .

$\frac{x (\ln (5) - 3 \ln (3))}{\ln (5) - 3 \ln (3)} = \frac{2 \ln (3)}{\ln (5) - 3 \ln (3)} + \frac{2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Paso 4.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.6.2.1

Cancela el factor común de $\ln (5) - 3 \ln (3)$ .

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Paso 4.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (5) - 3 \ln (3))}{\ln (5) - 3 \ln (3)} = \frac{2 \ln (3)}{\ln (5) - 3 \ln (3)} + \frac{2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Paso 4.6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2 \ln (3)}{\ln (5) - 3 \ln (3)} + \frac{2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Paso 4.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.6.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 \ln (3) + 2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Paso 4.6.3.2

Factoriza $2$ de $2 \ln (3) + 2 \ln (5)$ .

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Paso 4.6.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 \ln (3)$ .

$x = \frac{2 \ln (3) + 2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Paso 4.6.3.2.2

Factoriza $2$ de $2 \ln (5)$ .

$x = \frac{2 \ln (3) + 2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Paso 4.6.3.2.3

Factoriza $2$ de $2 \ln (3) + 2 \ln (5)$ .

$x = \frac{2 (\ln (3) + \ln (5))}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{2 (\ln (3) + \ln (5))}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

Forma decimal:

$x = - 3.21163648 \dots$