Precálculo Ejemplos

$3^{2 x} + 3^{x + 1} - 4 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $3^{x + 1}$ como $3^{x} \cdot 3^{1}$ .

$3^{2 x} + 3^{x} \cdot 3 - 4 = 0$

Paso 1.2

Reescribe $3^{2 x}$ como ${(3^{x})}^{2}$ .

${(3^{x})}^{2} + 3^{x} \cdot 3 - 4 = 0$

Paso 1.3

Sea $u = 3^{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $3^{x}$ .

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Paso 1.3.1

Evalúa el exponente.

$u^{2} + u \cdot 3 - 4 = 0$

Paso 1.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $u$ .

$u^{2} + 3 u - 4 = 0$

Paso 1.4

Factoriza $u^{2} + 3 u - 4$ con el método AC.

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Paso 1.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $3$ .

$- 1, 4$

Paso 1.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 1) (u + 4) = 0$

Paso 1.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3^{x}$ .

$(3^{x} - 1) (3^{x} + 4) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3^{x} - 1 = 0$

$3^{x} + 4 = 0$

Paso 3

Establece $3^{x} - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $3^{x} - 1$ igual a $0$ .

$3^{x} - 1 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $3^{x} - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3^{x} = 1$

Paso 3.2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

Paso 3.2.3

Expande $\ln (3^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (3) = \ln (1)$

Paso 3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.4.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$x \ln (3) = 0$

Paso 3.2.5

Divide cada término en $x \ln (3) = 0$ por $\ln (3)$ y simplifica.

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Paso 3.2.5.1

Divide cada término en $x \ln (3) = 0$ por $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Paso 3.2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.5.2.1

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 3.2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Paso 3.2.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

Paso 3.2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.5.3.1

Divide $0$ por $\ln (3)$ .

$x = 0$

Paso 4

Establece $3^{x} + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $3^{x} + 4$ igual a $0$ .

$3^{x} + 4 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $3^{x} + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$3^{x} = - 4$

Paso 4.2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3^{x}) = \ln (- 4)$

Paso 4.2.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- 4)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 4.2.4

No hay soluciones para $3^{x} = - 4$

No hay solución

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3^{x} - 1) (3^{x} + 4) = 0$ verdadera.

$x = 0$